Physics-informed Neural Network-based Inverse Analysis for Simultaneous Estimation of Consolidation Parameters from Settlement Monitoring Data

Jeeyeon You; Juhui Kim; Young-Hoon Jung

doi:10.7843/kgs.2026.42.2.135

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Journal of the Korean Geotechnical Society. 30 April 2026. 135-153
https://doi.org/10.7843/kgs.2026.42.2.135

Physics-informed Neural Network-based Inverse Analysis for Simultaneous Estimation of Consolidation Parameters from Settlement Monitoring Data

침하 계측 자료 기반 압밀 정수 동시 추정을 위한 물리정보 신경망(PINN) 기반 역해석 기법

Jeeyeon You¹

Juhui Kim²

Young-Hoon Jung³^*

유 지연¹

김 주희²

정 영훈³^*

¹Member, Graduate Student, Dept. of Civil Engineering, Kyung Hee Univ.

²Member, Undergraduate Student, Dept. of Civil Engineering, Kyung Hee Univ.

³Member, Prof., Dept. of Civil Engineering, Kyung Hee Univ.

¹정회원, 경희대학교 사회기반시스템공학과 석사과정

²학생회원, 경희대학교 사회기반시스템공학과 학사과정

³정회원, 경희대학교 사회기반시스템공학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This study introduces a physics-informed neural network (PINN)-based inverse analysis method for simultaneously estimating the coefficient of consolidation and final settlement using only settlement monitoring data. The approach utilizes a unified loss function that integrates the governing equation of one-dimensional consolidation with settlement-based constraints, allowing for stable parameter identification without the need for additional pore water pressure measurements. Results from synthetic data analyses show that the PINN model outperforms conventional hyperbolic and Asaoka methods across various drainage and loading conditions, particularly during the early stages of consolidation and under staged loading. In addition, applying the model to real field data indicates that predictions reliably converge toward long-term settlement behavior. This method enables accurate estimation of consolidation parameters at early stages and demonstrates significant potential as a practical inverse analysis tool for geotechnical engineering applications.

Keywords

Coefficient of consolidation

Final consolidation settlement

Incremental loading

Inverse analysis

Physics-informed neural network

Soft ground

본 연구에서는 침하 계측 자료만을 이용하여 압밀계수와 최종 압밀침하량을 동시에 추정할 수 있는 물리정보 신경망(PINN) 기반 역해석 기법을 제안하였다. 제안된 방법은 1차원 압밀 지배방정식과 침하량 제약조건을 통합한 손실함수를 활용하여, 추가적인 간극수압 계측 없이도 안정적인 매개변수 식별이 가능하도록 구성되었다. 합성 데이터에 대한 분석 결과, PINN 모델은 다양한 배수 및 하중 조건에서 기존 쌍곡선법 및 아사오카법 대비 높은 정확도를 보였으며, 특히 압밀 초기 단계와 점증재하 조건에서 우수한 성능을 나타냈다. 또한 실제 현장 데이터 적용 시에도 장기 침하 거동에 안정적으로 수렴하는 결과를 확인하였다. 본 기법은 압밀 초기 단계에서의 신뢰성 있는 지반정수 추정을 가능하게 하며, 실무 적용성이 높은 역해석 방법으로 활용될 수 있다.

MAIN

1. 서 론
2. 물리정보 신경망을 이용한 역해석 모델
2.1 물리정보 신경망을 이용한 해석 방법
2.2 1차원 압밀 문제에 대한 PINN 역해석 모델
3. 결과 및 분석
3.1 합성 관측 데이터에 대한 역해석 성능 분석
3.2 실제 관측 데이터에 대한 역해석 성능 분석
4. 결 론

1. 서 론

연약지반 상 구조물 시공에서는 압밀에 따른 장기 침하가 필연적으로 발생하며, 이를 정량적으로 예측하기 위해 압밀계수( $c_{v}$ )와 최종 침하량( $s_{f}$ )이 핵심 지반정수로 활용된다. 압밀계수는 과잉간극수압의 소산 속도를 지배하고, 최종 침하량은 하중 작용 후 발생하는 궁극적인 변형 규모를 결정한다. 이들 정수의 정확한 산정은 단계 재하 조건에서 시공 관리, 재하 단계 간 대기시간 결정, 잔류 침하 및 장기 사용성 평가에 직접적인 영향을 미친다.

실무에서는 일반적으로 실내 압밀시험을 통해 압밀 정수를 산정하지만, 시료 교란, 단순화된 배수 조건, 그리고 현장 지반의 공간적 불균질성으로 인해 실내 시험 결과와 실제 현장 거동 사이에는 상당한 불확실성이 존재한다. 이러한 한계를 보완하기 위해, 시공 중 계측된 침하 자료를 이용하여 압밀 특성을 재평가하는 역해석(back analysis) 기법이 널리 활용되어 왔다. 쌍곡선법과 아사오카법은 대표적인 전통적 역해석 기법으로, 계산이 간단하고 현장 적용 경험이 풍부하다는 장점이 있으나, 경험적 가정과 그래프 해석에 의존하기 때문에 계측 자료의 변동성 및 분석자의 판단에 민감하며, 특히 압밀 초기 단계에서의 예측 안정성에는 구조적인 한계를 지닌다(Tan and Chew, 1996; Kim et al., 2025).

최근에는 지배방정식과 계측 데이터를 동시에 활용할 수 있는 물리정보 신경망(Physics-Informed Neural Network, PINN)이 압밀 문제의 순해석 및 역해석을 위한 유망한 대안으로 주목받고 있다. Bekele(2021)은 Terzaghi의 1차원 압밀 방정식을 기반으로 PINN을 적용하여 순해석과 함께 압밀계수의 역해석 가능성을 처음으로 체계적으로 제시하였다. 이 연구는 PINN이 압밀 문제에 적용될 수 있음을 입증하였으나, 단순한 배수 조건과 이상화된 해석해를 가정하고 있어 실제 현장 조건이나 단계 재하 문제까지는 다루지 못하였다.

이후 Zhang et al.(2022)는 압밀 문제에 대해 순해석과 역해석을 통합적으로 고려한 PINN 기반 프레임워크를 제시하였으나, 역해석의 대상은 주로 경계조건에 포함된 계면 파라미터에 국한되어 있어, 설계 및 시공 관리에서 핵심적인 물성치인 압밀계수의 직접적인 역해석에는 한계가 있었다. Amini et al.(2023)은 순차적 PINN과 무차원 지배방정식을 결합하여 다물리 THM 문제에서 물성치 역해석의 가능성을 제시하였으나, 공간적으로 균질한 매질과 고차원 상태변수를 가정하고 있어, 압밀 초기 단계에서 제한된 계측 자료만을 이용한 안정적인 압밀계수 추정 문제와는 거리가 있다.

Guo and Yin(2024)은 국부적 시간 갱신(local time-updating) 전략을 도입한 이산시간 PINN 프레임워크를 통해 다차원 압밀 문제에서 압밀계수를 정확하게 식별할 수 있음을 보였다. 그러나 이들의 역해석 구성은 과잉간극수압을 주요 상태변수로 사용하고 있어, 침하 계측 자료가 상대적으로 용이하게 확보되는 실제 현장 적용 사례에 직접적으로 적용하는 데에는 제약이 따른다. Zhang et al.(2024)은 Sparse regression과 PINN을 결합하여 압밀 지배방정식의 식별과 해석을 동시에 수행하는 일반화된 프레임워크를 제시하였으나, 지배방정식이 이미 알려진 조건에서 실제 현장 계측 자료를 이용해 압밀 정수를 조기에 역해석하는 문제에 대한 논의는 제한적이다. Ito et al.(2024) 역시 PINN 기반 역해석을 통해 압밀계수와 수리정수를 추정하였으나, 균질한 지반 조건과 제한된 관측 위치의 수치 및 실내 실험 데이터에 기반하고 있어, 현장 계측 침하 자료를 활용한 초기 단계 예측 안정성에 대한 검토는 충분하지 않다.

최근 Zhang et al.(2025)은 다단계 재하 조건에서 발생하는 시간적 불연속성을 처리하기 위해 시간 영역 분할 기반의 domain-decomposed PINN(DD-PINN)을 제안하고, 이를 통해 압밀계수 역해석의 정확도를 향상시켰다. 그러나 해당 접근법은 재하 단계 수에 따라 다수의 서브네트워크와 인터페이스 연속성 조건을 요구하여 모델 구조와 학습 절차가 복잡해지며, 단일 PINN 구조를 기반으로 한 단순하고 실무 친화적인 역해석 적용성에 대해서는 여전히 검토의 여지가 남아 있다.

앞서 정리한 기존 연구들에서는 PINN을 이용한 압밀계수 역해석의 이론적 가능성과 다양한 확장 방향을 제시하였으나, 지배방정식이 이미 알려진 조건 하에서 실제 현장 계측 침하 자료만을 이용하여 압밀 초기 단계에서 압밀계수와 최종 침하량을 신속하고 안정적으로 추정하는 문제는 충분히 다루어지지 않았다. 특히, 과잉간극수압 계측이나 복잡한 다중 네트워크 구조에 의존하지 않으면서, 실무 적용을 고려한 단순화된 PINN 프레임워크에 대한 연구는 여전히 부족한 실정이다.

본 연구는 이러한 연구 공백을 해소하기 위해, 현장 계측 침하 자료만을 이용하여 압밀계수와 최종 1차 압밀 침하량을 직접 역해석할 수 있는 단일 PINN 기반 프레임워크를 제안하였다. 제안된 방법은 알려진 압밀 지배방정식과 침하량 기반 제약조건을 동시에 고려함으로써, 점증 재하 조건 하에서도 압밀 초기 단계에서 압밀 정수의 안정적인 식별을 가능하게 한다. 이를 통해 기존 PINN 기반 역해석 기법의 복잡성과 현장 적용상의 제약을 완화하고, 실무에서 빠르게 적용할 수 있는 압밀정수 역해석 방법론을 제시하고자 하였다.

2. 물리정보 신경망을 이용한 역해석 모델

2.1 물리정보 신경망을 이용한 해석 방법

물리정보 신경망(PINN)은 편미분 방정식으로 표현된 물리적 문제의 해결을 신경망 기법을 통해 수행하는 기술이다. 편미분 방정식(partial differential equation, PDE)은 미지의 함수가 두 개 이상의 독립 변수에 종속적일 때 일어나는 여러가지 물리학적, 기하학적 문제를 수학적으로 모델링한 것이다.

편미분 방정식의 해를 구하는 전통적인 방법은 크게 해석적인(analytical) 접근법과 수치적인(numerical) 접근법으로 구분된다. 미적분학을 활용하여 구해지는 해석해(analytical solution)는 간단한 경계조건에 대해서는 정확한 값을 얻을 수 있지만 복잡한 문제들을 다루는 데 한계가 있다. 편미분 방정식의 수치해를 구하는 기법들로는 유한차분법(finite difference method, FDM), 유한요소법(finite element method, FEM), 경계요소법(boundary element method, BEM) 등이 있다. 이러한 전통적인 방법에서 벗어나 1990년대부터 다수의 연구자들이 기계학습(machine learning) 기법을 이용하여 편미분 방정식의 해를 구하고자 시도하였고, 기계학습 기법의 일종인 신경망(neural network) 기법 역시 다루어졌다. 신경망 모델은 입력 신호를 다층의 가중치 연산과 비선형 활성함수를 거쳐 순전파를 통해 출력을 계산하고, 손실함수의 기울기를 이용하여 가중치를 반복적으로 갱신함으로써 점진적으로 입력–출력 관계를 학습하는 기계학습 모델이다.

Raissi et al.(2019)는 편미분 방정식이 지배하는 물리적 시스템을 푸는 새로운 종류의 신경망인 물리정보 신경망(PINN)을 제안하였다. PINN의 작동원리를 설명하기 위해서 다음 형태의 편미분 방정식(PDE)을 가정하였다.

(1)

\frac{\partial u}{\partial t} + N [u; λ] = 0

여기서, $u$ 는 시스템의 잠재적 해(latent solution)이며, 비선형 미분 연산자(nonlinear differential operator) $N$ 은 공간에 대한 편미분, $\partial u / \partial t$ 는 시간에 대한 편미분을 의미하며, $λ$ 는 미분 연산자의 매개변수이다.

Raissi et al.(2019)은 물리정보기반 신경망을 이용하여 편미분 방정식 문제를 해결하는 문제 유형을 순방향 문제(forward modeling)와 역해석 문제(inverse analysis)로 구분하였다. 두 문제 유형은 모두 동일한 PINN 프레임워크를 기반으로 하지만, 미지 변수의 성격, 학습대상, 그리고 손실함수 구성 방식에서 본질적인 차이를 가진다.

PINN의 순방향 문제에서는 PDE의 형태와 매개변수 $λ$ 의 값을 이미 알고 있으므로, 순방향 문제는 준비된 관측 데이터를 이용하여 해(Solution)를 추정하는 문제가 된다. 따라서 순방향 문제에 대한 PDE는 다음의 식으로 표현된다.

(2)

\frac{\partial u}{\partial t} + N [u] = 0

여기서, 미지의 값은 시간 $t$ 와 위치 $x$ 에 대한 해 $u (t, x)$ 이다. PINN에서 가중치(weight) $w$ 를 가지는 심층 신경망(deep neural network)을 통해 $u (t, x)$ 의 근사해 $\hat{u} (t, x; w)$ 를 출력할 수 있다. 신경망의 훈련(training) 단계에서 손실함수의 최소화 과정을 통해 신경망의 가중치 $w$ 가 최적화되고 최종적인 PINN모델이 구현된다.

PINN 에서는 크게 초기 조건과 경계 조건에 대한 경계손실(boundary loss)과 PDE로 표현된 물리 현상에 대한 물리손실(physics loss)의 두 종류 손실 항의 합으로 총 손실함수(total loss function)을 구성한다. 순방향 문제(forward problem)에서 총 손실함수 $L_{f w d}$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

(3)

L_{f w d} = θ_{B C} L_{B C} + θ_{P D E} L_{P D E}

여기서, $L_{B C}$ 은 경계손실(boundary loss) 그리고 $L_{P D E}$ 은 물리손실(physics loss)라고 하고, $θ_{B C}$ 와 $θ_{P D E}$ 는 경계손실과 물리손실에 대한 보정 가중치이다. $L_{B C}$ 를 좀더 자세히 전개하면 다음과 같다.

(4)

L_{B C} = \frac{1}{N_{B C}} \sum_{i = 1}^{N_{B C}} {|\hat{u} (t_{i}, x_{i}; w) - u (t_{i}, x_{i})|}^{2}

여기서, $N_{B C}$ 는 $L_{B C}$ 를 계산하기 위한 $(t, x)$ 의 개수이다. 경계손실 $L_{B C}$ 은 초기 및 경계조건을 표현하기 위한 시공간 위치 에서의 라벨, 즉 정답데이터 $u$ 와 신경망의 출력치(output) $\hat{u}$ 간의 차이를 계산한다. 이러한 경계손실의 계산 과정은 일반적인 신경망에서 사용하는 평균제곱오차로 표현된 손실함수의 계산 과정과 동일하다.

손실함수 $L_{P D E}$ 은 PDE를 만족하도록 강제하는 물리적 제약을 위한 함수이다. 신경망을 통해 출력된 근사해 $\hat{u} (t, x; w)$ 를 이용하여 지배 편미분 방정식의 잔차(PDE residual) $f$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

(5)

f (t, x; w) : = \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} + N [\hat{u}]

따라서 PDE를 만족하도록 강제하는 물리적 제약은 다음의 식으로 표현된 손실함수 $L_{P D E}$ 의 최소화 과정을 통해 이루어진다.

(6)

L_{P D E} = \frac{1}{N_{P D E}} \sum_{j = 1}^{N_{P D E}} {|f (t_{j}, x_{j})|}^{2} = \frac{1}{N_{P D E}} \sum_{j = 1}^{N_{P D E}} |\frac{\partial \hat{u} (t_{j}, x_{j}; w)}{\partial t} + N [\hat{u} (t_{j}, x_{j}; w)]|

여기서, 시공간 모델링 영역 내에서 연계좌표(collocation point)라고 불리는 $N_{P D E}$ 개의 점들을 임의 위치에서 샘플링한 후, 연계좌표 위치들에 대해 물리손실 $L_{P D E}$ 을 계산한다. 식 (6)에서 필요한 미분 연산자(operator) $N [\cdot]$ 의 계산은 합성 함수의 미분에 연쇄법칙을 적용하여 진행되는 자동미분(automatic differentiation) 기법을 이용하여 수행한다. 순방향 문제에서 총 손실함수의 최적화 문제는 다음의 식으로 정의된다.

(7)

\min_{w} L_{f w d} (w)

즉, 최적화 과정은 신경망 내부의 가중치 $w$ 에 대해서만 진행된다. 이 과정에서 $L_{B C}$ 는 기지의 데이터에 맞도록 해를 보정하는 역할을 하며 $L_{P D E}$ 는 해 공간(function space)을 PDE의 해 공간으로 강하게 제한하는 정규화 항(regularization term)으로 작동한다. PINN에서 식 (3)의 형태로 총 손실함수를 구성하는 방식은 일반적인 지도학습에서 사용하는 손실함수에 해당하는 경계손실에 물리손실이라는 비지도 정규화(regularization)를 추가한 것이라고도 볼 수 있다(Cho et al., 2023).

PINN의 역해석 문제(back-analysis problem)는 매개변수 값을 완전히 알지 못하는 지배 방정식이 주어졌을 때 관측 데이터로부터 이러한 미지의 매개변수 $λ$ 를 식별하는 문제라고 정의할 수 있다. 역해석 문제에서도 순방향 문제와 동일하게 가중치(weight) $w$ 를 가지는 심층 신경망(deep neural network)을 통해 $u (t, x)$ 의 근사해 $\hat{u} (t, x; w)$ 를 출력한다. 다만 순방향 문제와 다른 점은 미지의 매개변수를 학습 가능한 변수(trainable parameters)로 간주하고 심층 신경망에 포함시킨다는 점이다. 따라서 역방향 문제, 또는 역해석 문제에서 총 손실함수 $L_{b a c k}$ 의 최적화 문제는 다음의 식으로 표현할 수 있다.

(8)

\min_{w, λ} L_{b a c k} (w, λ)

2.2 1차원 압밀 문제에 대한 PINN 역해석 모델

1차원 압밀 방정식을 따르는 문제에서 최종 1차 압밀침하량 $S_{f}$ 와 압밀계수 $c_{v}$ 를 역해석하기 위한 PINN 모델을 다음과 같이 구성하였다.

Fig. 1과 같이 두께 $H$ 의 압밀층에서 시간 $t$ 에서 발생한 1차원 침하량을 $S (t)$ 로 표시하였다. 압밀 시작( $t = 0$ ) 이후 시간 $t_{e n d}$ 까지 일정 시간 간격으로 침하량을 측정하였다고 가정하였다. 즉시재하 조건인 경우 $t = 0$ 에서 $q_{1}$ 의 재하하중이 즉시 지표면에 가해진다고 가정하였다. 점증재하 조건인 경우 $t = 0$ 에서 하중 재하를 시작하여 시간 $t_{1}$ 에서 최종 재하하중 $q_{1}$ 에 도달한다고 가정하였다.

심도 $z$ 위치에서 시간 $t$ 에 측정된 과잉간극수압을 $u (t, z)$ 로 표시하였다. 안정적인 신경망 구성을 위해 과잉간극수압은 다음의 식으로 무차원화하였다.

(9)

\tilde{u} = u / q_{1}

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Fig. 1

Schematic diagram of 1D consolidation analysis and settlement observation data over time

시간 도메인에 대해서 다음의 식을 이용하여 [0, 1]의 구간에서 정의되는 무차원 시간 $τ$ 을 정의하였다.

(10)

τ = t / t_{e n d}

따라서 압밀계수 $c_{v}$ 에 대해서도 다음의 식으로 무차원 압밀계수 $c_{v}^{*}$ 를 정의할 수 있다I.

(11)

c_{v}^{*} = \frac{t_{e n d} \cdot c_{v}}{H_{d r}^{2}}

여기서, $H_{d r}$ 는 배수거리이다. 심도 $z$ 에 대해서도 다음의 식을 이용하여 무차원 깊이 $y$ 를 정의하였다.

(12)

y = z / H

무차원 시간 $τ = 0$ 의 초기 조건(Initial condition, IC)에서 무차원 깊이( $y$ )에 따라 변하는 무차원 초기 간극수압을 ${\tilde{u}}_{0} (y)$ 으로 표시하였다. 평균 무차원 초기 과잉간극수압 ${\tilde{u}}_{0, m e a n}$ 은 사다리꼴 공식으로 깊이에 따른 수치 적분을 수행하여 구하였다.

(13)

{\tilde{u}}_{0, m e a n} = \sum_{k = 0}^{K_{y} - 1} w_{k} \cdot u_{0} (y_{k})

여기서, 무차원 깊이 $y = \in [0, 1]$ 을 40등간격으로 분할하여 $K_{y} = 41$ 개의 적분점을 사용하였고, 사다리꼴 적분의 가중치는 등간격 폭 $∆ y = 1 / 40$ 에 해당하는 $w_{k} = 0.025$ 로 설정하였다. 단, 양면배수 경계에 해당하는 위치점에 대해서는 $w_{k} / 2 = 0.0125$ 를 적용하였다.

압밀계수 $c_{v}$ 와 최종 압밀침하량 $S_{f}$ 를 PINN 역해석 모델의 매개변수로 설정하였다. 두 매개변수는 Sigmoid 함수를 이용한 변환을 통해 설정된 상하한 범위 내로 제한하여 학습되도록 설정하였다. 이러한 설정을 통해 매개변수가 물리적으로 비현실적인 값으로의 발산하는 것을 방지하고 안정적인 역해석이 진행되도록 하였다.

앞서 식 (1)에서 설명한 일반적인 편미분 방정식은 1차원 압밀 문제에서 다음과 같이 구체적으로 정의할 수 있다.

(14)

\frac{\partial u}{\partial t} - c_{v} \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} - \frac{d q}{d t} = 0

여기서, 1차원 공간은 연직방향 $z$ 의 축으로 표현되며, $u$ 는 과잉간극수압(excess pore water pressure)이며, 미분 연산자의 매개변수는 압밀계수 $c_{v}$ 가 된다. 점증재하 조건에서 시간에 비례하여 성토하중이 증가하며 그 속도는 $d q / d t$ 가 된다. 이 속도를 최종 재하하중 $q_{1}$ 으로 나누어 무차원화하면 점증재하 속도는 $d α / d t = d (q / q_{1}) / d t$ 로 표현할 수 있다. 재하 하중 $q$ 에 의해 발생한 과잉간극수압은 깊이에 따른 초기 과잉간극수압의 분포를 유지하면서 $q$ 의 크기로 발생한다고 가정하였다.

무차원 입력 변수 $τ$ 와 $y$ 를 받아 무차원화된 과잉간극수압 $\tilde{u}$ 의 근사해 $\hat{u}$ 를 출력하는 신경망을 구성하였다. 점증 재하 조건이 고려된 PDE의 잔차 $r (τ, y; w)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

(15)

r (τ, y; w) : = \frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} - c_{v}^{*} \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial y^{2}} - t_{e n d} \frac{d α}{d τ} \cdot {\tilde{u}}_{o} (y)

PINN 학습 과정에서는 계산 시공간 도메인 내부에 배치된 연계좌표들(collocation points)에서 이 잔차가 최소가 되도록 신경망을 학습시킴으로써, 예측된 해가 물리 지배방정식을 만족하도록 유도한다.

PINN 역해석 문제에서 다루는 매개변수에 압밀계수 $c_{v}$ 와 함께 최종 1차 압밀 침하량(final settlement) $s_{f}$ 를 포함하였다. 침하가 1차원 압밀에 의해서만 발생한다면, 최종 침하량은 지층내 과잉간극수압 소산 정도에 비례하는 1차 압밀 침하량(primary consolidation settlement)에 상응할 것이다. 무차원 시간 $τ$ 에서 관측된 지표면 침하량 $S (τ)$ 는 다음의 식으로 계산할 수 있다.

(16)

S (τ) = S_{f} \cdot [α (τ) - \frac{{\tilde{u}}_{m e a n} (τ)}{{\tilde{u}}_{0, m e a n}}]

여기서, 평균 무차원 과잉간극수압 ${\tilde{u}}_{m e a n}$ 은 사다리꼴 공식으로 깊이에 따른 수치 적분을 수행하여 구하였다.

(17)

{\tilde{u}}_{m e a n} (τ) = \sum_{k = 0}^{K_{y} - 1} w_{k} \cdot \tilde{u} (τ, y_{k})

여기서, $K_{y}$ = 41로 설정하였고, 가중치 $w_{k}$ = 0.025 이다. 하중재하율 $α (τ)$ 는 현 시점( $τ$ )까지 재하된 하중 크기의 비율(0~1)이며, 즉시재하 조건에서 $α (τ)$ =1이다.

PINN 역해석 모델에서 총 손실함수 $L_{P D E}$ 는 다음과 같이 정의하였다.

(18)

L_{c o n} = θ_{P D E} L_{P D E} + θ_{I C} L_{I C} + θ_{B C} L_{B C} + θ_{S} L_{S}

Terzaghi 1차원 압밀 방정식인 PDE에 대한 손실항 $L_{P D E}$ 는 다음의 식으로 정의된다.

(19)

L_{P D E} = \frac{1}{N_{P D E}} \sum_{j = 1}^{N_{P D E}} {|\frac{\partial \hat{u} (τ_{j}, y_{j}; w)}{\partial τ} - c_{v}^{*} \frac{\partial^{2} \hat{u} (τ_{j}, y_{j}; w)}{\partial y^{2}} - t_{e n d} \frac{d α}{d t} \cdot {\tilde{u}}_{0} (y)|}^{2}

여기서, $N_{P D E}$ 는 시공간 도메인에 설정한 연계좌표(collocation points)의 갯수이다. $L_{P D E}$ 의 손실항에 매개변수 $c_{v}$ 가 포함되었다. 무차원 시간 $τ = 0$ 의 초기 조건(initial condition, IC)에서 무차원 깊이 $y$ 에서의 무차원 초기 과잉간극수압 ${\tilde{u}}_{0}$ 에 대한 손실항 $L_{I C}$ 은 다음의 식으로 정의된다.

(20)

L_{I C} = \frac{1}{N_{I C}} \sum_{i = 1}^{N_{I C}} {|\hat{u} (0, y_{i}; w) - {\tilde{u}}_{0} (0, y_{i})|}^{2}

여기서, $N_{I C}$ 는 초기 조건에 대한 연계좌표(collocation points)의 개수이다. 압밀이 진행되는 토층의 상단 또는 하단 배수경계에서 과잉간극수압은 $u = 0$ 이므로, 경계조건에 대한 손실항 $L_{B C}$ 은 다음의 식으로 정의된다.

(21)

L_{B C} = \frac{1}{N_{B C}} \sum_{i = 1}^{N_{B C}} {|\hat{u} (τ_{i}, y_{i}; w)|}^{2}

여기서, $N_{B C}$ 는 경계 조건 심도에서 설정한 연계좌표(collocation points)의 갯수이다. 무차원 시간 $τ$ 에서 관측된 침하량 $S_{o b s} (τ)$ 의 실측 데이터에 대한 손실항 $L_{S}$ 는 다음의 식으로 정의된다.

(22)

L_{S} = \frac{1}{N_{o b s}} \sum_{i = 1}^{N_{o b s}} {|S_{f} \cdot [α (τ_{i}) - \frac{{\tilde{u}}_{m e a n} (τ_{i})}{{\tilde{u}}_{0, m e a n}}] - S_{o b s} (τ_{i})|}^{2}

여기서, $N_{o b s}$ 는 관측 데이터가 수집된 시각의 갯수이다. 침하량에 대한 손실항 $L_{S}$ 에 매개변수 $S_{f}$ 가 포함된다. 상기의 4개 손실항으로 구성된 총 손실함수의 최적화 문제는 다음의 식으로 정의된다.

(23)

\underset{w, S_{f}, c_{v}}{m i n} L_{c o n} (w, S_{f}, c_{v})

즉, 신경망 가중치 $w$ 와 두 개의 매개변수 $S_{f}$ 와 $c_{v}$ 에 대해 최적화 과정이 진행된다. Fig. 2는 앞서 설명한 PINN 모델의 신경망 구조의 아키텍쳐를 보여준다.

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Fig. 2

Overall architecture and data flow of the proposed Physics-Informed Neural Network (PINN)

3. 결과 및 분석

3.1 합성 관측 데이터에 대한 역해석 성능 분석

Terzaghi 1차원 압밀 방정식에 대한 역해석을 수행하기 위한 물리정보기반 신경망(PINN) 모델을 구축하였다. PINN 모델의 신경망은 각 층당 64개의 노드를 가지는 5개의 완전 연결층(fully connected layers, FCL)으로 구성되었으며, 활성함수로는 비선형성 표현에 유리한 하이퍼볼릭 탄젠트(tanh) 함수를 적용하였다. 최적화 기법으로는 Adam(adaptive moment estimation) 옵티마이저를 사용하였고, 학습률은 0.0005로 고정하여 총 25,000회(iteration) 동안 학습을 수행하였다.

지배 방정식에 따른 물리 법칙을 신경망 학습 과정에 강제하기 위해 해석 영역 내부에서 총 4,000개의 연계좌표(collocation points)를 무작위로 샘플링하여 편미분방정식(PDE) 잔차 기반 손실항을 구성하였다. 또한 경계조건 손실항을 부과하기 위해 경계면 위치에 800개의 연계좌표를 배치하였으며, 초기조건 손실항 계산을 위해 추가로 400개의 연계좌표를 사용하였다. 손실함수는 지배방정식(PDE), 초기조건(IC), 경계조건(BC), 계측 데이터( $S_{o b s}$ )에 대한 항으로 구성되며, 각 손실항에 대한 가중치는 모두 1.0으로 가정하였다. 모델 학습은 NVIDIA RTX 2080 GPU를 이용하여 수행되었으며, 해석조건별 약 5분 정도의 시간이 소요되었다. Fig. 3은 학습 단계에 따른 손실함수 및 역해석 결과의 수렴 양상을 나타내며, 각 손실항이 안정적으로 감소하는 경향을 통해 본 연구의 PINN 모델이 적절하게 작동함을 확인할 수 있다.

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Fig. 3

Variations of the estimated coefficient of consolidation, final settlement, and loss with the number of iterations

PINN 기반 역해석 모델의 예측 성능을 평가하기 위해 Table 1에 제시된 바와 같이 총 16개의 해석 조건을 설정하였다. 해석조건을 설정하기 위해 두께 1m의 압밀층을 가정한 후 상하단 또는 상단배수 조건, 즉시 또는 점증재하 조건, 0.1 또는 0.5m의 최종압밀침하량, 0.1 또는 1.0m²/year의 압밀계수를 적용하여 총 16조건별 시간-침하량 곡선의 합성 데이터(synthetic data)를 생성하였다. 최종 재하하중( $q_{1}$ )의 크기는 10kPa로 가정하였다. 점증재하 조건에서는 성토하중이 1년 동안 선형적으로 증가하여 10kPa에 도달하는 것으로 설정하였으며, 즉시재하 조건에서는 초기 시점에 10kPa의 하중이 즉시 재하되어 압밀층 전체에 동일한 초기 과잉간극수압이 발생한 것으로 가정하였다. 모든 해석조건에서 총 3.5년의 압밀 진행 시간을 동일하게 설정하였다.

Table 1.

Analysis conditions

Analysis conditions	Drainage condition	Loading condition	Primary consolidation settlement	Coefficient of consolidation
Analysis conditions	0 = Double 1 = Single	0 = Instantaneous 1 = Incremental	0 = 0.1 m 1 = 0.5 m	0 = 0.1 m²/year 1 = 1.0 m²/year
Case 1	0	0	0	0
Case 2	1	0	0	0
Case 3	0	1	0	0
Case 4	0	0	1	0
Case 5	0	0	0	1
Case 6	0	0	1	1
Case 7	0	1	0	1
Case 8	0	1	1	0
Case 9	1	0	0	1
Case 10	1	0	1	0
Case 11	1	1	0	0
Case 12	0	1	1	1
Case 13	1	0	1	1
Case 14	1	1	0	1
Case 15	1	1	1	0
Case 16	1	1	1	1

Table 1에 정리한 해석 조건별 압밀계수와 최종 압밀침하량의 참값을 사용하여 Terzaghi 1차원 압밀 이론의 해석해(analytical solution)를 통해 시간에 따른 지표면 침하량 $S (t)$ 를 계산하였고, 이를 역해석에 사용할 합성 관측 데이터(synthetic obseravation data)로 사용하였다. Fig. 4는 해석조건별 합성 관측 데이터 곡선을 보여주고 있다. 합성 관측 데이터를 입력치로 설정하여 PINN모델로 Table 1의 해석조건별 $S_{f}$ 와 $c_{v}$ 의 역해석 예측값(predicted value)을 산정하였다. 역해석이 끝나면 다음의 식으로 정의된 상대오차(relative error) $L_{2}$ 를 계산하여 성능을 정량적으로 평가하였다.

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Fig. 4

Time-settlement curves and time-average degree of consolidation curves by analysis conditions

(24)

L_{2} = \frac{\sqrt{{(y^{P r e d i c t e d} - y^{T r u e})}^{2}}}{\sqrt{{(y^{T r u e})}^{2}}}

여기서, $y^{T r u e}$ 는 해석조건별 주어진 $S_{f}$ 또는 $c_{v}$ 의 참값이며, $y^{P r e d i c t e d}$ 는 PINN 모델의 역해석을 통해 얻어진 예측값이다.

PINN 모델과 함께 연약지반 관리에서 널리 사용되는 쌍곡선법(hyperbolic method)과 아사오카법(Asaoka method)을 사용하여 역해석을 실시하였다(Tan and Chew, 1996; Hong et al., 2024; Kim et al., 2025). PINN 모델의 역해석에 사용한 합성 관측 데이터를 동일하게 사용하여 두 방법으로 역해석한 압밀계수와 최종 침하량 예측치를 구하였다. 단, 아사오카법은 최종 침하량과 압밀계수의 역해석이 가능하지만 쌍곡선법은 최종 침하량만을 역해석할 수 있다.

압밀 시작 후 0 ~ 3.5년의 기간에 대해서 합성 관측 데이터를 생성하였고, 역해석에서는 관측 데이터가 수집된 기간을 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5년으로 6단계에 걸친 시간범위를 설정하였고, 해석조건별 평균 압밀도( $U_{a v g}$ ) 수준에 따라 상대오차가 어떻게 변화하는지 비교/분석하였다.

즉시재하 조건에서 최종 압밀침하량( $S_{f}$ ) 예측치의 상대오차( $L_{2}$ )를 Fig. 5에 나타내었다. 대부분 해석 조건에서 PINN 모델의 예측 상대오차 $L_{2}$ 는 35% 이하로 유지되어 전반적으로 높은 예측 정확도를 보였으며, 아사오카법과 쌍곡선법으로 구한 역해석 예측치의 상대오차 범위와 큰 차이가 발생하지 않았다. PINN 방법, 아사오카법, 쌍곡선법의 세 가지 방법에서 모두 압밀진행시간이 증가함에 따라 상대오차가 점진적으로 감소하는 경향을 보였다. 단면배수 조건에서 압밀계수의 참값이 $c_{v}$ = 0.1m²/year인 Case 2와 Case 10 조건에서는 타 조건과 대비하여 상대오차가 상당히 크다. PINN 방법의 상대오차는 $U_{a v g}$ = 36%일 때 50%에서 시작하여 $U_{a v g}$ = 66%일 때 40%까지 감소하였다. 아사오카법과 쌍곡선법의 상대오차는 $U_{a v g}$ = 36%일 때 PINN의 결과보다 높은 약 60%에서 시작하여 $U_{a v g}$ = 66%일 때 20~40% 수준으로 감소하였다. PINN 방법의 상대오차는 아사오카법의 상대오차와 유사한 수준이다.

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Fig. 5

Relative error of final consolidation settlement under instantaneous loading conditions

점증재하 조건에서 최종압밀침하량( $S_{f}$ ) 예측치의 상대오차( $L_{2}$ )를 Fig. 6에 나타내었다. PINN 모델의 상대오차는 약 50% 수준에서 시작하여 약 30% 수준으로 감소하였다. 이러한 점증재하 조건에서 상대오차 수준은 즉시재하 조건에 비해 높은 수준이지만, 아사오카법과 쌍곡선법에 비해 상당히 낮은 수준이다. 점증재하 조건에서는 아사오카법과 쌍곡선법의 상대오차 수준은 앞서 즉시재하 조건과는 달리 최대 600% 이상까지 증가하는 사례가 발생하였고, 특히 60% 이하의 평균압밀도에서 예측 신뢰성이 크게 저하되는 것으로 나타났다. 이는 하중 이력의 복잡성이 아사오카법과 쌍곡선법과 같은 경험적 예측기법의 적용성을 크게 제한함을 시사한다.

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Fig. 6

Relative error of final consolidation settlement under incremental loading conditions

압밀진행시간이 2년 이상인 구간에서는 아사오카법의 예측 상대오차가 압밀진행시간 증가에 따라 점진적으로 감소하는 경향을 보였고, 쌍곡선법 역시 대부분의 조건에서 유사하게 상대오차가 감소하는 경향을 나타냈다. 그러나 압밀진행시간이 2년 미만인 초기 구간에서는 아사오카법과 쌍곡선법 모두 예측 상대오차가 100%를 초과하는 매우 큰 값을 보여, 점증재하 조건의 초기 압밀 단계에서 두 방법의 예측 정확도가 현저히 낮음을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 아사오카법과 쌍곡선법이 일반적으로 평균압밀도 60% 이상 진행된 관측자료에 대해서만 적용하는 것이 바람직하다고 권고되어 온 기존 연구 결과(Tan and Chew, 1996; Chung et al., 2009)와도 정합적인 경향을 보인다. 하지만 PINN모델은 즉시재하 조건과 큰 차이 없이 점증재하 조건에서도 50% 이하의 상대오차 수준이 나타났다.

즉시재하 조건에서 압밀계수( $c_{v}$ ) 예측치의 상대오차 $L_{2}$ 를 Fig. 7에 도시하였다. 대부분 해석 조건에서 PINN 모델의 상대오차는 45% 이하이며 전반적으로 높은 예측 정확도를 보였으며, 압밀진행시간이 증가함에 따라 상대오차가 거의 일정한 값을 유지하였다. 반면 아사오카법의 상대오차는 PINN 모델의 상대오차에 비해 매우 큰 값을 가지며, 특히 Case 2와 Case 10에서는 $U_{a v g}$ = 36%일 때 1000%가 넘는 오차가 나타났다. 아사오카법의 상대오차는 압밀진행시간이 증가함에 따라 감소하였으나 Case 5와 Case 6을 제외한 모든 조건에서 PINN의 상대오차보다 최소 2배 이상의 상대오차가 발생하였다.

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Fig. 7

Relative error of coefficient of consolidation under instantaneous loading conditions

점증재하 조건에서 압밀계수( $c_{v}$ ) 예측치의 상대오차 $L_{2}$ 를 Fig. 8에 도시하였다. 아사오카법은 점증하중 재하 종료 이후의 관측자료만을 이용하여 압밀계수의 역해석이 가능하므로, 아사오카법의 예측 결과는 재하 종료 시점(Time = 1.5 year) 이후 구간에 한해 도시하였다. 즉시재하 조건의 결과와 유사하게 점증재하 조건에서의 압밀계수 상대오차는 대부분 해석 조건에서 45% 이하의 값으로 나타났으며, 압밀진행시간이 증가함에 따라 상대오차가 점차 감소하였다. 반면 아사오카법의 상대오차는 Case 11과 Case 15를 제외한 모든 조건에서 PINN의 상대오차보다 낮은 수준을 유지하였다. 하지만 단면배수 조건에서 압밀계수의 참값이 $c_{v}$ = 0.1m²/year인 Case 11과 Case 15 조건에서 아사오카법의 상대오차는 100% 이상의 값이 나타났으며, 조건에 따라 큰 폭의 변동이 발생하였다.

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Fig. 8

Relative error of coefficient of consolidation under incremental loading conditions

3.2 실제 관측 데이터에 대한 역해석 성능 분석

스웨덴 스톡홀름 서쪽 25km에 위치한 Ska-Edeby 테스트 사이트의 Area IV 구역은 1957년 스웨덴 국립지반공학회(Swedish Geotechnical Institute, SGI)가 신규 공항 건설 예정지의 연약지반 압밀 특성을 규명하기 위해 조성한 연직배수재 미설치 조건의 원형 시험 성토 구역이다. Fig. 9에 보인 바와 같이 Area IV 구역에서는 직경 35m, 높이 1.5m의 자갈 성토체가 1957년 6월과 7월에 두 차례로 나뉘어 단계적으로 재하되어 최종적으로 약 27kN/m²의 상재하중이 가해졌다. Fig. 10에 제시한 본 구역의 지층은 지표면의 0.5m 두께 표층 경화층(Dry crust) 하부에 유기질 점토, 후빙기 점토, 빙하 점토가 차례로 퇴적되어 구성된 약 12m 두께의 연약 점토층으로 이루어져 있다.

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Fig. 9

Layout of the Skå-Edeby test field (Holtz and Broms, 1972)

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Fig. 10

Soil profile of the Skå-Edeby test field (Holtz and Broms, 1972)

1957년에 시작한 재하 성토 이후 2003년까지 약 45년에 걸친 장기 계측 결과에 따르면, 성토 직후인 1957년에 약 6cm의 초기 침하가 발생하였다. 2차 압축에 해당하는 크리프(creep) 현상을 배제하고 산정된 1차 압밀의 예상 완료 시점인 1972년에는 75cm의 침하가 관측되었으나, 당시 지중에는 여전히 20kPa의 과잉간극수압이 잔존하고 있었다. 이후에도 침하는 지속적으로 발생하여 1982년 95cm, 2002년 110cm의 침하량이 발생하였다. 2002년 조사결과에서 약 8kPa의 잔여 과잉간극수압이 관측되었고, 연간 5~6mm 속도의 잔류 침하가 진행 중인 것으로 파악되었다. 특히 1971년 잔류 과잉간극수압을 기준으로 계산된 평균 압밀도는 약 35%에 불과하였으나, 동 시점의 침하량 기반 압밀도는 평균 72%에 달해 현저한 불일치를 보였다. 이는 1차 압밀이 진행되는 동안 상당한 양의 2차 압축(크리프)이 동시에 발생하여 침하가 간극수압 소산보다 빠르게 진행된 결과로 분석되었다.

Area IV 구역의 압밀계수는 측정 연도를 비롯하여 추정 방식 및 계측 대상에 따라 상이하게 평가되었다. 계측 연도의 경과 및 계측 기기의 교체에 의해서도 추정된 현장 압밀계수 값에 변동성이 나타났다. 전반적으로 간극수압 및 침하량 등 현장 계측을 통해 역산된 압밀계수는 실내 압밀시험을 통해 도출된 초기 예측값에 비해 2배에서 최대 4배 이상 큰 것으로 산출되어, 실제 현장에서의 압밀 속도가 실내시험 결과보다 더 빠른 것으로 추정되었다. 구체적으로 보면 1957년 실내시험 기반의 초기 예측값(Hansbo, 1960)은 0.126~0.158m²/year 수준이었다. 반면 1972년 현장의 초과간극수압 소산 데이터를 토대로 역산한 현장 압밀계수는 0.221m²/year로 평가되었으며, 동일 시기 계측된 현장 침하량에 기반하여 산출한 값은 0.946m²/year으로 훨씬 크게 산정되었다.

최종 1차 압밀 침하량 추정치 역시 연도별 계측 데이터의 축적과 해석 조건(과압밀 상태, 하중 감소, 심도별 하중 분산 등)의 변경에 따라 상당한 변화를 보였다. Hansbo(1960)는 실내 압밀시험에서 얻은 압축지수를 이용하여 Area IV의 최종 1차 침하량을 47~54cm로 예측하였다. 이와 별도로 1959년 중반까지 관측된 현장 간극수압 소산 데이터를 바탕으로 최종 침하량이 예측되기도 하였다. 1972년에는 상재하중(overburden pressure)과 지하수위 위치를 보정하여 재계산한 결과 Area IV의 최종 침하량 추정치가 41~48cm로 소폭 변경되었으나, 당시 현장에 남아있던 잔여 과잉간극수압을 고려할 때 실제 최종 1차 침하량은 초기 예측치의 2배에 달하는 100cm를 초과할 것이라는 새로운 분석이 제기되었다. 이후 Larsson and Mattsson(2003)의 사후 재평가에 따르면, 크리프 현상을 배제한 상태에서 Area IV 구역의 이론적인 최종 1차 침하량은 약 75cm 수준이었으며, 이는 1972년 무렵에 이미 도달한 것으로 확인되었다. Table 2에서는 연도별 압밀계수와 최종 침하량 추정치를 정리하였다.

Table 2.

Estimated values of coefficient of consolidation (unit: m²/year) and final consolidation settlement (unit: cm) by year

Year	Measured settlement (cm)	PINN	Asaoka (Hyperbolic)	Estimated values from references	Estimation methods used in the references	References
1957 (Initial)	0			c_v = 0.126 ~ 0.158 S_f = 47 ~ 54	Laboratory consolidation test results	Hansbo (1960)
1962 (5 years elapsed)	42	c_v = 0.60 S_f = 54	c_v = 0.99 S_f = 57 (55)
1967 (10 years elapsed)	62	c_v = 0.51 S_f = 66	c_v = 0.80 S_f = 67 (77)
1972 (14 years elapsed)	75	c_v = 0.41 S_f = 78	c_v = 0.65 S_f = 77 (94)	c_v = 0.221 ~ 0.946 S_f = 41 ~ 48	Recalculated by modifying surcharge load and groundwater level	Holtz and Broms (1972)
1977 (20 years elapsed)	86	c_v = 0.37 S_f = 85	c_v = 0.59 S_f = 82 (104)
2002 (45 years elapsed)	110	c_v = 0.24 S_f = 108	c_v = 0.55 S_f = 85 (129)	S_f = 75	Post-reassessment based on long-term observations, excluding secondary compression (creep)	Larsson and Mattson (2003)

Fig. 11은 이러한 전통적 예측 기법들의 한계와 시대별 목표치의 번복 과정을 실제 관측 데이터와 비교하여 시각화한 것이다. 그림에서 알 수 있듯이, 전통적 방식은 관측 데이터가 누적됨에 따라 최종 침하량 예측치를 초기 47~54cm에서 100cm 이상으로, 다시 75cm로 지속적으로 수정하는 등 실제 장기 침하 거동을 일관되게 예측하는 데 구조적인 한계를 드러내었다.

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Fig. 11

Measured data and estimated values from related literature

Fig. 12는 본 연구의 PINN 역해석 모델을 이용하여 압밀계수와 1차 압밀 침하량을 예측한 결과이다. 3.1절에서 설명한 방법과 같이 압밀 시작 시점에서 주어진 시간( $t_{e n d}$ = 5, 10, 14, 20, 45 years)까지 역해석을 순차적으로 반복 수행하였다. PINN 역해석 모델의 하이퍼파라미터는 3.1절에 설명한 값과 동일한 값을 사용하였다. Fig. 12에서 알 수 있듯이, 학습에 사용된 관측 데이터의 누적 기간이 5년에서 45년으로 증가함에 따라 모델이 예측하는 침하 곡선이 실제 장기 거동에 점진적이고 안정적으로 수렴해 가는 양상을 명확히 확인할 수 있다. 초기의 불확실성에도 불구하고, 누적되는 계측 데이터에 내재된 물리적 지배방정식을 일관되게 학습함으로써 사전에 정답을 가정하지 않고도 실제 거동에 근접해 나가는 PINN의 강점을 확인할 수 있다.

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Fig. 12

Measured data and inverse analysis results of the PINN model

한편, Skå-Edeby 현장 데이터에서 확인된 바와 같이, 간극수압 기반 압밀도(35%)와 침하량 기반 압밀도(72%) 사이의 현저한 불일치는 1차 압밀이 진행되는 동안 이차압축(크리프)이 동시에 발생하였음을 시사한다. 그러나 본 연구에서 제안한 PINN 역해석 모델은 Terzaghi 1차원 압밀 지배방정식만을 기반으로 구성되어 있어, 이러한 동시 발생 거동을 명시적으로 반영하지 못한다는 한계를 지닌다. 향후 연구에서는 이차압축지수( $C_{α}$ )를 추가 역해석 매개변수로 설정하여 총 침하량 손실항을 1차 압밀 침하량과 이차압축 침하량의 합으로 재구성하는 방법, 또는 점소성 구성 모델과의 결합을 통해 1차 압밀 PDE와 크리프 변형률 속도 ODE를 혼합(coupling)한 지배방정식 체계를 PINN 프레임워크 내에 통합하는 방법을 고려할 수 있다. 이러한 확장을 통해 이차압축이 지배적인 실제 연약지반 조건에서도 보다 신뢰성 높은 장기 침하 예측이 가능할 것으로 기대된다.

4. 결 론

본 연구에서는 1차원 압밀 문제를 대상으로, 현장 계측 침하 자료만을 이용하여 압밀계수와 최종 압밀침하량을 동시에 역해석할 수 있는 단일 구조의 물리정보기반 신경망(PINN) 프레임워크를 제안하였다. 제안된 방법은 지배방정식과 침하량 기반 제약조건을 통합한 손실함수를 구성함으로써, 복잡한 다중 네트워크 구조나 과잉간극수압 계측 없이도 안정적인 매개변수 식별이 가능하도록 설계되었다.

합성 데이터에 대한 수치실험 결과, PINN 모델은 다양한 배수조건 및 하중조건에서 전반적으로 안정적인 예측 성능을 보였으며, 특히 점증재하 조건과 같은 복잡한 하중 이력 하에서도 기존의 쌍곡선법 및 아사오카법 대비 우수한 정확도를 나타냈다. 기존 방법들이 압밀 초기 단계 또는 평균압밀도 60% 이하 구간에서 큰 오차를 보이는 반면, PINN 모델은 초기 단계에서도 비교적 낮은 상대오차를 유지하여 조기 예측 가능성을 확인하였다. 또한 압밀계수 추정에 있어서도 PINN은 전통적 방법 대비 일관되고 안정적인 성능을 보였다.

실제 Skå-Edeby 시험 성토 구역의 장기 계측 데이터를 적용한 결과, PINN 모델은 제한된 초기 데이터만을 사용한 경우에도 장기 침하 거동에 점진적으로 수렴하는 예측 성능을 보였으며, 기존 문헌에서 나타난 예측치의 큰 변동성과 불일치 문제를 효과적으로 완화할 수 있음을 확인하였다. 이는 PINN이 데이터와 물리법칙을 동시에 학습함으로써, 사전 가정 없이도 실제 거동을 반영하는 역해석이 가능함을 의미한다.

따라서 본 연구에서 제안한 PINN 기반 역해석 기법은 압밀 초기 단계에서 신뢰성 있는 지반정수 추정이 가능하며, 단계 재하 조건을 포함한 실제 시공 환경에서도 적용 가능한 실무 친화적 도구로 활용될 수 있다. 향후 연구에서는 비선형 압밀 거동 및 2차 압축을 포함한 보다 복잡한 물성 조건으로의 확장이 필요할 것으로 판단되며, 다층 지반 조건에 대해서는 각 토층을 독립적인 서브도메인으로 정의하고 층 경계면에서의 과잉간극수압 연속 조건을 추가 물리 제약으로 손실함수에 포함하는 공간 도메인 분할(Domain decomposition) 방식의 적용이 가능할 것으로 판단된다.

Acknowledgements

본 연구는 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 BRIDGE 융합연구개발사업(No. RS-2023-00254093)의 연구 결과이며, 이에 깊은 감사를 드립니다.

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Journal of the Korean Geotechnical Society ISSN:1229-2427(Print) 2288-646X(Online) 한국지반공학회 논문집

Preview

Physics-informed Neural Network-based Inverse Analysis for Simultaneous Estimation of Consolidation Parameters from Settlement Monitoring Data

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Fig. 1

Schematic diagram of 1D consolidation analysis and settlement observation data over time

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Fig. 2

Overall architecture and data flow of the proposed Physics-Informed Neural Network (PINN)

Fig. 3

Variations of the estimated coefficient of consolidation, final settlement, and loss with the number of iterations

Table 1.

Analysis conditions

Fig. 4

Time-settlement curves and time-average degree of consolidation curves by analysis conditions

(24)

Fig. 5

Relative error of final consolidation settlement under instantaneous loading conditions

Fig. 6

Relative error of final consolidation settlement under incremental loading conditions

Fig. 7

Relative error of coefficient of consolidation under instantaneous loading conditions

Fig. 8

Relative error of coefficient of consolidation under incremental loading conditions

Fig. 9

Layout of the Skå-Edeby test field (Holtz and Broms, 1972)

Fig. 10

Soil profile of the Skå-Edeby test field (Holtz and Broms, 1972)

Table 2.

Estimated values of coefficient of consolidation (unit: m2/year) and final consolidation settlement (unit: cm) by year

Fig. 11

Measured data and estimated values from related literature

Fig. 12

Measured data and inverse analysis results of the PINN model

Acknowledgements

References

Estimated values of coefficient of consolidation (unit: m²/year) and final consolidation settlement (unit: cm) by year