Numerical Formulation of Thermo-Hydro-Mechanical Interface Element

Hosung Shin; Seok Yoon

doi:10.7843/kgs.2022.38.9.45

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Journal of the Korean Geotechnical Society. 30 September 2022. 45-52
https://doi.org/10.7843/kgs.2022.38.9.45

Numerical Formulation of Thermo-Hydro-Mechanical Interface Element

열-수리-역학 거동 해석을 위한 경계면 요소의 수식화

Hosung Shin¹^*

Seok Yoon²

신 호성¹^*

윤 석²

¹Member, Prof., Dept. of Civil & Environmental Engrg., Univ. of Ulsan

²Member, Principal Researcher, Disposal Safety Evaluation Research Division, KAERI

¹정회원, 울산대학교 건설환경공학부 교수

²정회원, 한국원자력연구원 저장처분기술관리부 책임연구원

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Because discontinuity in the rock mass and contact of soil-structure interaction exhibits coupled thermal-hydro-mechanical (THM) behavior, it is necessary to develop an interface element based on the full governing equations. In this study, we derive force equilibrium, fluid continuity, and energy equilibrium equations for the interface element. Additionally, we present a stiffness matrix of the elastoplastic mechanical model for the interface element. The developed interface element uses six nodes for displacement and four nodes for water pressure and temperature in a two-dimensional analysis. The fully coupled THM analysis for fluid injection into a fault can model the complicated evolution of injection pressure due to decreasing effective stress in the fault and thermal contraction of the surrounding rock mass. However, the result of hydromechanical analysis ignoring thermal phenomena overestimates hydromechanical variables.

Keywords

FEM,

Fluid injection

Interface element

THM phenomena

암반내 불연속면이나 지반-구조물의 접촉면은 열-수리-역학적으로 연계된 거동 특성을 보이므로, 온전한 지배방정식에 근거한 경계면 요소의 개발이 필요하다. 본 논문은 경계면 요소에 대한 힘평형 방정식, 유체의 연속방정식 그리고 에너지 평형 방정식을 유도하였다. 그리고 경계면 요소에 대한 탄소성 역학 모델의 강성행렬을 제시하였다. 개발된 유한요소는 2차원 조건에서 변위는 6절점, 수압과 온도는 4절점을 사용한다. 단층내 유체 주입에 대한 완전연계된 THM 해석은 단층내의 유효응력 감소와 주위 암반의 온도 수축에 의한 주입압의 복합적인 변화을 모델링 할수 있었다. 하지만, 열적 현상을 무시한 HM해석은 수리-역학적 변수를 과다하게 산정하였다.

MAIN

1. 서 론
2. 경계면 요소의 수식화
2.1 역학적 지배방정식의 수식화
2.2 수리학적 지배방정식의 수식화
2.3 열적 지배방정식의 수식화
3. 단층내 유체 주입에 대한 수치해석
4. 결 론

1. 서 론

지반공학의 수치해석에서 암반내의 절리와 단층이나 지반-구조물 사이의 접촉면은 복잡한 모델링 기법을 요구한다. 이러한 불연속적인 경계면을 연속체 요소로 모델링하면, 경계면에서 발생하는 상대 변위를 고려하지 못하여 응력-변위 관계를 과소평가하게 된다(Karabatakis and Hatzigogos, 2002). 따라서 얇은 두께에 상대변위가 집중되는 경계면의 거동을 모사할수 있는 역학적(mechanical) 경계면 요소(interface element)가 필요하다.

경계면의 열-수리학적(Thermo-Hydraulic) 해석은 경계면 표면의 기하학적 복잡성 뿐만 아니라 지배방정식 상호간의 강한 연계성으로 모델링하기 어렵다. 예로, 경계면에서 수압에 의한 유효응력 변화는 간극(aperture)을 변화시키고, 이에 따른 종방향 투수성(longitudinal transmissivity)의 급격한 변화는 추가적인 수압의 변화를 유발한다. 또한 경계면은 유체 흐름에 의한 열이류(heat advection) 현상으로 열흐름의 중요한 통로가 된다. 이와 같은 경계면의 열-수리-역학적 연계현상은 양성 피드백(positive feedback)에 의한 연쇄적인 반응으로 지반의 불안정 상태를 촉진할수 있다. 이는 수압파쇄(hydraulic fracturing) 현상으로 에너지 생산성을 높일수도 있지만(Economides and Nolte, 2000), 이산화탄소의 지중저장(CO₂ sequestration) 시스템에 누수(Zoback and Gorelick, 2012; Rinaldi et al., 2014)를 발생시키거나 에너지 생산정에 유체 주입으로 소규모 지진(Schultz et al., 2020)을 유발할수도 있다.

Goodman et al.(1968)이 제안한 역학적 경계면 요소는 여러가지 형태로 변형 개선되었다(Beer, 1985; Gens et al., 1990; Ghaboussi et al., 1973). 이러한 역학적 경계면 요소는 실무나 연구용으로 적용 사례가 많지만, 유체의 연속방정식에 기반한 수리-역학적 경계면 요소는 제한적으로 개발되었다. Hilber and Taylor(1976)가 암반내 절리에 대한 수리학적 경계면 요소를 제시한 이후, 절리내의 물의 흐름과 변형을 연계한 요소가 제안되었다(Guiducci et al., 2002; Ng and Small, 1997; Segura and Carol, 2004). 특히, 절리 암반에 대한 수치해석에서 지배방정식간의 비연계(uncoupled 또는 linked) 해석은 완전연계(fully coupled) 해석에 비하여 유량을 과대하게 평가하였다(Guiducci et al., 2002; Segura and Carol, 2008). 지반의 열-수리-역학적 현상에 대한 연속체 요소(continuum element)는 지속적으로 개발되고 있으나(Olivella et al., 1996; Schrefler and Scotta, 2001; Shin, 2011), 경계면 요소(interface element)의 수식화는 최근에 시도되고 있다(Cui et al., 2019).

본 연구에서는 불연속 경계면에 대한 힘평형 방정식과 경계면 내부의 유체 및 열적 흐름에 대한 지배방정식을 제시한다. 그리고 개발된 열-수리-역학적(Thermo-Hydro-Mechanical, THM) 경계면 요소를 이용하여 단층내 유체 주입에 대한 수치해석을 수행하고자 한다.

2. 경계면 요소의 수식화

경계면의 열-수리-역학적 거동을 모사하기 위해서는 경계면 요소에 대한 힘평형 방정식, 유체의 연속방정식 그리고 에너지 평형 방정식이 필요하다. 3개의 지배방정식들에 대한 Galerkin 수식화는 Fig. 1과 같이 각 절점의 변위, 간극수압 그리고 온도를 주변수(main variable)로 하는 행렬로 정리된다.

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Fig. 1

Degree of freedom in the interface element: 6-node for displacement and 4-node for fluid pressure and temperature in 2D analysis

2.1 역학적 지배방정식의 수식화

가상일의 원리(principle of virtual work)를 이용하여 경계면 요소의 힘평형 방정식(force equilibrium)을 Galerkin 수식화하였다(Ng and Small, 1997). Goodman의 모델과 같이 불연속면에서는 법선 응력(normal stress)과 전단 응력(shear stress)만이 전달된다.

(1)

\int w_{i} σ_{i} d x = 0

여기서, 응력 성분은 σ_i = [σ_t, σ_n]^T이고, 상대변위 성분은 u_i = [ u_s, u_n]^T이다. 포화된 절리면 요소에서 THM 현상에 의한 응력증분은 σ_i = σ_i⁽ⁿ⁺¹⁾ ≈ σ_i^(n,i) + dσ_i = σ_i^(n,1) + D_ijdu_j – dpδ_i + D_ij^ehα_T^JdTδ_i와 같다. h는 경계면의 두께이며, 단위 벡터는 δ_i = [0,1]^T이다. 그리고 α_T^J는 경계면의 선형열수축계수(coefficient of linear thermal contraction)이다. D_ij는 경계면 요소에서 상대변위에 의한 유효응력 증가를 나타내는 강성텐서이며, 2.4절의 역학적 구성모델로부터 결정된다. 열-역학 연계 현상에서 온전한 암석(intact rock)은 온도 상승에 의하여 팽창하지만, 암반내 절리는 온도 상승에 대하여 수축하며 온도에 대한 이력현상(hysteresis)을 보인다(Barton et al., 1985).

역학적 구성모델에서 요소 중앙면(mid-plane)의 상대변위는 전체 좌표계의 변위를 국부좌표계로 변환하고, 식 (2)와 같이 산정할 수 있다(Fig. 2).

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Fig. 2

Node numbering at the mid-plane for the mechanical modeling in the interface element

(2)

u_{i}^{1} = [\begin{matrix} u_{s}^{1} \\ u_{n}^{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{x}^{4} - u_{x}^{1} \\ u_{y}^{4} - u_{y}^{1} \end{matrix}], u_{i}^{2} = [\begin{matrix} u_{s}^{2} \\ u_{n}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{x}^{6} - u_{x}^{5} \\ u_{y}^{6} - u_{y}^{5} \end{matrix}], u_{i}^{3} = [\begin{matrix} u_{s}^{3} \\ u_{n}^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{x}^{3} - u_{x}^{2} \\ u_{y}^{3} - u_{y}^{2} \end{matrix}]

여기서, [u_x, u_y]^T는 절점의 국부좌표계 x와 y방향으로 변위이다.

2.2 수리학적 지배방정식의 수식화

유체는 경계면 내부에서 종단(longitudinal, local x) 방향과 횡단(transversal, local y) 방향으로 흐르게 된다(Fig. 3). 경계면 요소에서 주어진 시간 dt동안 유체의 질량보존의 법칙은 다음과 같이 정리할 수 있다.

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Fig. 3

Definition of longitudinal and transversal flows, and node definition for the hydraulic modeling in the interface element

(3)

(- \frac{\partial v_{x}}{\partial x} d x \cdot h - \frac{\partial v_{y}}{\partial y} h \cdot d x) \cdot d t = d u_{n} \cdot d x \frac{d u_{n}}{d t} + h (\frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y}) = 0

식 (3)에 가상일의 원리로 적용하여 Galerkin 수식화하면 다음과 같다.

(4)

\int q \frac{d u_{n}}{d t} d x - h \int (\frac{\partial q}{\partial x} v_{x} + \frac{\partial q}{\partial y} v_{y}) d x = 0

여기서 q는 간극수압 p와 부합되는 허용 가능한 가상의 간극수압이다.

경계면 내부의 유체 흐름은 Darcy의 법칙( $v_{x} = - \frac{k_{x}}{γ_{w}} \frac{\partial p}{\partial x}$ , $v_{y} = - \frac{k_{y}}{γ_{w}} \frac{\partial p}{\partial y}$ )을 적용하였다.

(5)

\int q \frac{d u_{n}}{d t} d x + h \int \frac{\partial q}{\partial x} \frac{k_{x}}{γ_{w}} \frac{\partial q}{\partial x} d x + h \int \frac{\partial q}{\partial y} \frac{k_{y}}{γ_{w}} \frac{\partial q}{\partial y} d x = 0

여기서 식 (5)의 두번째 항은 종단방향으로의 흐름을 나타내고, 세번째 항은 횡단방향으로의 흐름을 나타낸다.

요소 중앙면의 종단방향에 대한 간극수압 $\bar{p}$ 은 횡단 방향으로 인접한 두 절점의 평균 간극수압으로부터 산정할 수 있다(Fig. 3b).

(6)

[\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} (p^{4} + p^{1}) / 2 \\ (p^{2} + p^{3}) / 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.5 & 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p^{1} \\ p^{2} \\ p^{3} \\ p^{4} \end{matrix}]

횡단방향에 대한 간극수압의 구배는 횡단방향 절점들에 대한 간극수압의 기울기로부터 구할수 있다(Fig. 3b).

(7)

[\begin{matrix} \frac{\partial p_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial p_{2}}{\partial y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} (p^{4} - p^{1}) / h \\ (p^{3} - p^{2}) / h \end{matrix}] = \frac{1}{h} [\begin{matrix} - 0.5 & 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & - 0.5 & 0.5 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p^{1} \\ p^{2} \\ p^{3} \\ p^{4} \end{matrix}]

2.3 열적 지배방정식의 수식화

내부 에너지(internal energy)를 이용한 경계면 요소의 시간 dt동안의 에너지 보존의 법칙은 다음과 같다.

(8)

(- \frac{\partial J_{x}}{\partial x} d x \cdot h - \frac{\partial J_{y}}{\partial y} h \cdot d x) \cdot d t = d (ρ E) \cdot h \cdot d x = ρ C_{p} d T \cdot h \cdot d x - \frac{\partial J_{x}}{\partial x} - \frac{\partial J_{y}}{\partial y} = ρ C_{p} \frac{d T}{d t}

여기서, E_s는 경계면 요소내의 단위질량당 내부에너지이며, C_p는 열용량(heat capacity)이다.

에너지 흐름(energy flux, J_x)은 전도(conduction)와 유체의 흐름에 의한 이류(advection)로 구분할 수 있다 (Olivella et al., 1996).

(9)

J_{x} = i_{c} + ρ_{l} E_{l} v_{x}

여기서, 열전도에 의한 에너지 전달은 Fourier의 법칙 ( $i_{c} = - λ \nabla T$ )을 이용하여 산정하였다.

열적 지배방정식에 가상일의 원리에 의한 Galerkin 수식화를 적용하면 다음과 같다.

(10)

h \int w^{T} ρ C_{p} \frac{d T}{d t} d x + h \int \frac{\partial w^{T}}{\partial x} (λ_{x} \frac{\partial T}{\partial x} + \frac{k_{x}}{γ_{w}} ρ_{l} E_{l} \frac{\partial p}{\partial x}) d x + h \int \frac{\partial w^{T}}{\partial y} (λ_{y} \frac{\partial T}{\partial y} + \frac{k_{y}}{γ_{w}} ρ_{l} E_{l} \frac{\partial p}{\partial y}) d x = 0

요소 중앙면에서 종단(longitudinal)방향과 횡단(transversal)방향으로의 온도 보간은 2.2절의 수압에 대한 내용과 동일하다.

마지막으로, 경계면 요소에 대한 힘평형 방정식(식 (1)), 유체의 흐름에 대한 연속방정식(식 (5)) 그리고 에너지 방정식(식 (10))을 임의의 시간 t⁽ⁿ⁾과 t⁽ⁿ⁺¹⁾ 사이에서 시간 적분을 수행하고 Newton의 반복과정을 이용할 수 있도록 근사화시켰다. 시간 적분된 지배방정식의 수식들에 보간함수를 도입하면, 주 변수들에 대한 행렬 방정식을 얻을 수 있다. 2차원 경계면 요소는 변위에 대해서 6절점, 수압과 온도에 대해서는 4절점을 사용한다. 새롭게 개발된 경계면 요소는 불포화 지반과 절리암반에서 열-수리-역학의 연계된 현상을 해석하기 위하여 개발된 Geo-COUS(Geo-COUpled Simulator) 다차원 유한요소 프로그램과 결합하였다(Shin, 2011; Shin and Santamarina, 2019).

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Fig. 4

Heat transfer of the interface element in the local coordinate system

2.4 경계면 요소의 탄소성 역학 모델

경계면 요소의 역학적 구성관계(dσ_i = D_ijdu_j)는 경계면의 상대변위에 대한 유효응력 증분을 정의한다.

(11)

[\begin{matrix} d σ_{s} \\ d σ_{n} \end{matrix}] = D \cdot [\begin{matrix} d u_{s} \\ d u_{n} \end{matrix}]

D는 탄성영역에서 단위 전단강성(shear stiffness, K_s)과 직교강성(normal stiffness, K_n)로 이루어진 D^e와 일치한다(Ng and Small, 1997). 일반적인 탄소성 모델은 소성흐름 법칙과 일관성 조건을 적용하여 다음과 같다.

(12)

D^{e} = [\begin{matrix} K_{s} & 0 \\ 0 & K_{n} \end{matrix}] D_{i j} = D_{i j}^{e} - \frac{(D_{i k}^{e} \cdot \partial g / \partial σ_{k}) \otimes (D_{j l}^{e} \cdot \partial f / \partial σ_{l})}{\partial f / \partial σ_{k} \cdot D_{k l}^{e} \cdot \partial g / \partial σ_{l}}

Mohr-Coulomb의 파괴기준와 비연관 소성흐름(non-associated flow rule)을 경계면 요소에 적용하였다.

(13)

f = σ_{t} - σ_{n} \tan ϕ + c = 0 g = σ_{t} - σ_{n} \tan ψ = 0

여기서, ϕ와 c는 불연속 경계면의 마찰각(friction angle)와 점착강도(cohesion)이며, ψ는 불연속면의 팽창각(dilation angle))이다.

주어진 탄소성 모델에 대한 강성행렬 D은 다음과 같이 정리할 수 있다.

(14)

D = [\begin{matrix} K_{s} - \frac{K_{s}^{2}}{K_{s} + K_{n} \tan ϕ \tan ψ} & \frac{K_{s} K_{n} \tan ϕ}{K_{s} + K_{n} \tan ϕ \tan ψ} \\ \frac{K_{s} K_{n} \tan ψ}{K_{s} + K_{n} \tan ϕ \tan ψ} & K_{n} - \frac{K_{s}^{2} \tan ϕ \tan ψ}{K_{s} + K_{n} \tan ϕ \tan ψ} \end{matrix}]

3. 단층내 유체 주입에 대한 수치해석

지중의 절리암반을 이용한 이산화탄소 지중저장(CO₂ sequestration), 공학적 지열시스템(Enhanced Geothermal System), 원유의 회수증진(Enhanced Oil Recovery) 등은 다양한 목적의 유체를 주입하여 절리암반의 공극압, 온도 그리고 응력을 변화시킨다. 이러한 공학기술은 열-수리-역학의 복잡하게 연계된 거동 해석이 필요하지만, 대부분의 연구는 단층이나 절리를 등가연속체로 모델링하여 THM 해석을 수행하거나(Rutqvist et al., 2002), HM 해석만을 수행하고 있다(Park et al., 2020; Rutqvist et al., 2013). 특히, 절리 암반에 대한 비연계(uncoupled) HM 해석은 감압에 의한 유체의 생산성을 과다하게 평가하였다(Guiducci et al., 2002; Segura and Carol, 2008).

본 논문에서는 개발된 THM 경계면 요소를 이용하여 단층을 모델링하고, 기존 연구에서 고려하지 못한 열적 해석의 유무에 따른 해석결과의 차이를 평가하고자 한다. 해석조건은 수심 2km의 해저면으로부터 2.5km 하부에 단층(L=1km, θ=80°)이 위치한다고 가정하였다(Fig. 5a). 2차원 수치해석에 사용된 절점수는 57,782개이며, 19,100개의 8절점-THM 연속체 요소와 100개의 6절점-THM 경계면 요소를 사용하였다. 해저면의 온도는 4°C로 가정하고, 지중온도구배는 25°C/km로 설정하였다. 유체 주입(주입유량=10m³/m/hr, 온도=30°C)은 단층의 중앙부에 3시간 동안만 진행하였다(Rutqvist et al., 2015). Table 1은 수치해석에 사용한 암반과 단층의 THM 물성치를 정리하였다.

Table 1.

Thermo-Hydro-Mechanical properties for numerical simulations

Element type	Category	Material properties
Intact rock (continuum element)	Mechanical	E=10.0GPa, ν=0.25, α_T=-1.0×10^-51/K
	Hydraulic	K=1.0×10^-13m²
	Thermal	λ_solid=2.0W/m·K, λ_water=0.5W/m·K, Cp_solid=874J/kg·K, Cp_water=4200J/kg·K
Fracture (interface element)	Mechanical	h=0.2m, K_n=1.0MPa/mm, K_s=0.2MPa/mm, α_JT=1.0×10^-51/K
	Hydraulic	K=1.0×10^-9m², k=k₀×(1-∆h/h)₃
	Thermal	λ_solid=2.0W/m·K, λ_water=0.5W/m·K, Cp_solid=874J/kg·K, Cp_water=4200J/kg·K

Fig. 5b는 완전연계된 THM 수치해석에서 시간경과에 따른 단층 주변의 간극수압 변화를 나타내고 있다. 단층의 중앙 지점에 일정한 유량을 주입하는 3시간동안, 단층 내부와 인접영역의 간극수압이 점진적으로 증가하였다. 유체 주입을 중단하면서 단층 주변의 높은 간극수압이 점차적으로 소산되는 것을 알수 있다. 온도 변화는 유체 주입의 인접한 영역에서만 발생하여 해석결과를 제시하지 않았다.

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Fig. 5

(a) Numerical modeling of water injection within an 80° dipping fault. (b) Distribution of pore-water pressure difference from initial value near the fault over time

Fig. 6은 완전연계된 THM해석, HM해석 그리고 자연대류 현상을 고려한 THM 해석 결과를 비교하였다. 암반과 단층의 열적 현상을 무시한 HM 해석은 단층 중앙지점의 전단 변형을 과다하게 평가하고 주입압을 크게 산정하였다. 이는 유체 주입지점의 온도 감소가 주위 암반의 열적 수축과 단층의 열적 팽창을 유발하여 주입된 유체가 단층으로 확산되면서 주입압이 변화하는 THM 연계현상을 고려하지 못하기 때문이다. 또한 열적현상을 무시하면서 과다하게 예측된 주입압력은 유효응력를 더욱 감소시키고 전단변위를 크게 발생시켰다.

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Fig. 6

Result of various numerical coupling method: THM, HM and THM considering natural convection of the fluid. Time evolution of (a) slip displacement (u_t) at the center of the fault, (b) injection pressure difference from initial value at the center of the fault

지중의 온도변화는 간극수의 밀도변화에 따른 부력에 의하여 자연대류(natural convection)를 발생시킨다(Shin, 2017). 다만, 본 해석과 같이 온도 변화의 시간이 짧은 경우에는 자연대류의 영향이 작게 나타난다. 다만, 고준위 방사성폐기물의 지중처분장이나 이산화탄소 지중저장 등과 같이 온도변화의 지속시간이 긴 경우에는 온도 변화에 의한 간극수의 밀도류를 고려하여 수치해석을 수행하여야 한다.

4. 결 론

암반내 절리나 지반-구조물의 접촉면은 역학적으로 취약할 뿐만 아니라 열-수리학적으로 유체와 에너지의 주요한 이동 통로가 된다. 이러한 경계면은 열-수리-역학적으로 완전히 연계된 거동 특성을 보이므로, 수치해석은 완전히 연계된 지배방정식에 근거한 경계면 요소를 사용해야 한다.

본 논문에서는 경계면 요소에 대한 힘평형 방정식, 유체의 연속방정식 그리고 에너지 평형 방정식을 유도하였다. 제시된 지배방정식들에 대한 Galerkin 수식화, 시간 적분과 공간보간을 통하여 경계면 요소를 개발하였으며, 2차원 조건에서 변위는 6절점, 수압과 온도는 4절점을 사용한다. 그리고 경계면 요소의 탄소성 역학 모델에 대한 강성행렬을 유도하였다.

단층내 유체 주입에 대한 수치해석에서 완전 연계된 THM해석과 HM해석을 비교 분석하였다. 연계된 THM 해석은 단층내의 유효응력 감소와 암반의 온도 수축에 의한 주입압의 복합적인 변화를 해석할수 있었다. 하지만, 열적 현상을 무시한 HM해석은 주입 압력과 단층의 전단변형을 과다하게 산정하였다.

구조물과 접한 지반에 대한 수치해석에서 접촉면의 전단응력이 매우 작으면 연속체 요소를 이용할수 있지만, 전단응력이 상대적으로 크게 발생하면 경계면 요소를 이용한 수치해석을 수행해야 한다.

Acknowledgements

본 연구는 한국수력원자력(주) 해오름동맹출연사업(원전지역 특화연구)과 한국연구재단 중견연구자지원사업(NRF-2022R1A2C200823611)의 지원으로 수행되었으며, 이에 깊은 감사를 드립니다.

References

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Journal of the Korean Geotechnical Society ISSN:1229-2427(Print) 2288-646X(Online) 한국지반공학회 논문집

Preview

Numerical Formulation of Thermo-Hydro-Mechanical Interface Element

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1

Degree of freedom in the interface element: 6-node for displacement and 4-node for fluid pressure and temperature in 2D analysis

(1)

Fig. 2

Node numbering at the mid-plane for the mechanical modeling in the interface element

(2)

Fig. 3

Definition of longitudinal and transversal flows, and node definition for the hydraulic modeling in the interface element

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Fig. 4

Heat transfer of the interface element in the local coordinate system

(11)

(12)

(13)

(14)

Table 1.

Thermo-Hydro-Mechanical properties for numerical simulations

Fig. 5

(a) Numerical modeling of water injection within an 80° dipping fault. (b) Distribution of pore-water pressure difference from initial value near the fault over time

Fig. 6

Result of various numerical coupling method: THM, HM and THM considering natural convection of the fluid. Time evolution of (a) slip displacement (ut) at the center of the fault, (b) injection pressure difference from initial value at the center of the fault

Acknowledgements

References

Result of various numerical coupling method: THM, HM and THM considering natural convection of the fluid. Time evolution of (a) slip displacement (u_t) at the center of the fault, (b) injection pressure difference from initial value at the center of the fault