1. 서 론
지표투과레이더(Ground Penetrating Radar, GPR)는 다양한 재질의 지하 시설물을 탐지할 수 있는 비파괴 탐사 방법으로, 빠른 탐사 속도로 광범위한 지하 정보를 수집할 수 있다. 그러나, GPR 탐사의 설계와 실행은 상당한 전문 지식을 요구하며, 탐사 결과의 해석은 비전문가에게는 직관적이지 않아 정확한 데이터 이해를 위해 전문적인 지식이 필요하다(Benedetto and Pajewski, 2015; Chae et al., 2019).
GPR 탐사에서 지반의 불균질한 특성은 다양한 클러터(Clutter)를 발생시킨다. 클러터는 송신된 신호가 목표에 의해 반사된 신호가 아닌 뜻하지 않은 물체에 의해 반사되어 수신된 신호를 의미한다. 그러나, GPR 데이터는 시간 및 공간에 연관되어 불균질한 특성을 정량적으로 평가하기 어렵다.
많은 연구에서 다양한 조건 및 상황에 따른 GPR 탐사의 신호특성을 분석하기위해 수치해석 기법을 도입하여 연구를 진행하고 있다. Hyun(2017)는 관로 내부에 충진된 물질에 따른 신호특성을 분석하기 위해 유한차분 시간영역(Finite-Difference Time-Domain, FDTD) 수치해석을 적용하였다. 해당 연구에서는 해석 대상 지반을 무손실, 비분산, 균일한 지반으로 가정하고 해석하였으나, 실제 지반의 경우 손실, 분산, 불균질한 특성을 갖기 때문에 추가적인 연구가 필요하다고 언급한 바 있다. Ryu et al.(2023)는 지중 관로가 여러 개 존재할 때, 관로가 수평, 수직, 대각으로 배치되어 있는 경우 신호 특성에 미치는 영향을 분석하는 연구를 수행하였다. Go and Lee(2021a)는 자갈도상 재료의 파울링 정도에 따른 GPR 신호특성을 분석할 수 있는 수치해석 기법을 제안하였다. 해당 연구에서는 RSA(Random Sequential Absorption)기법을 이용하여 파울링된 지반 모델을 생성하고 FDTD 수치해석을 이용하여 GPR 신호특성을 분석하였다. Go and Lee(2021b)는 터널 라이닝 내부와 배면의 상태를 평가하고 GPR 신호특성에 대한 DB를 확보하기 위한 FDTD 수치해석 연구를 수행하였다. Gurel and Oguz(2001)는 지반의 불균질성을 고려하기 위해 지반 내 전기적 특성이 다른 물체들을 무작위로 배치하고 FDTD 수치해석을 수행하였다. 또한 FDTD 수치해석을 이용한 탐지알고리즘을 개발하기위해서는 지반의 불균질한 특성을 고려하여 해석 모델을 구성해야 된다고 주장하였다. Warren et al.(2016)는 GPR탐사의 시뮬레이션을 위해 gprMax라는 프로그램을 개발했으며, 이를 파이썬 기반의 오픈소스 프로그램으로 공개하였다. 해당 연구에서는 Peplinski 재료 모델 및 프랙탈(Fractal)기법을 통해 지반 모델을 모사하여 신호 특성을 나타내었다. 이러한 연구들에도 불구하고 지반의 불균질한 특성을 정량적으로 평가할 수 있는 방법에 대한 연구가 부족하며 이로인해 불균질한 모델에 대한 해석을 하더라도 현장 데이터와 유사성을 규명하기 어려운 실정이다.
프랙탈은 자기유사성(Self-similarity)이라는 특징을 갖고 있어, 작은 규모에서의 패턴이 큰 규모에서의 패턴과 유사한 형태를 보이는 것이 특징이다. 프랙탈 차원(Fractal dimension)은 프랙탈의 복잡성과 불규칙성을 수치로 나타내는 지표이며, 이는 일부 공간에서 패턴의 조밀도를 의미한다(Ivanovici and Richard, 2011). 프랙탈 기법을 이용하여 불균질한 지반 특성을 모사하기 위해서는 프랙탈 차원수(Dimension number)와 3차원 공간에서 각 축에 대한 프랙탈 가중치(Fractal weights)를 결정해야 한다. Lee et al.(2022)는 Peplinski 재료모델과 프랙탈 기법을 이용하여 지반의 불균질성을 모사하기 위한 프랙탈 차원수에 대한 연구를 수행한 바 있다. 그러나, 해당연구에서는 실제 지반의 클러터와 비교한 것이 아닌, 차원수에 따른 분석만 수행했다는 한계가 있다.
실제 지반은 여러 개의 층으로 이루어져 있으며, 공간에 수평적으로 분포하여 GPR 탐사 데이터에서도 횡방향 클러터가 발생한다. 이러한 클러터 특성은 프랙탈 가중치를 통해 각 축에 따른 프랙탈 차원수를 조절하여 모사할 수 있다. 그러나 실제 GPR 탐사 결과를 모사할 수 있는 프랙탈 가중치에 대한 연구는 진행된 바 없으며, 해석 데이터와 현장 데이터의 유사도를 평가하기 위한 방법도 알려진 바 없다. 따라서, 실제 GPR 탐사 데이터와 수치해석 결과 데이터의 유사도를 정량적으로 평가할 수 있는 방법이 필요하다.
본 연구에서는 자기상관 함수를 이용하여 실제 GPR 데이터를 분석하고 이를 이용하여 실제 GPR 탐사 데이터의 클러터와 수치해석 데이터의 클러터가 유사성을 보이는 프랙탈 가중치에 대한 범위를 제시하였다.
2. 배경 이론
2.1 불균질지반 수치해석
유한차분 시간영역(Finite-difference time-domain method, FDTD) 수치해석은 시간 및 공간을 Yee 셀이라 불리는 격자 형태의 셀로 이산화하고 미소시간영역에 대한 맥스웰 방정식을 풀어나가며 해석을 수행한다(Taflove and Hagness, 2005). 유한차분 시간영역 수치해석 기법에서 지반 모델은 크게 균질한 지반 및 불균질한 지반으로 구성할 수 있다. 균질 지반의 경우 지반 전체가 동일한 전기적 특성을 보이는 재료 모델로 설정하는 지반 모델을 의미하며, 불균질한 지반은 전기적 특성이 다른 여러 재료들을 이용하여 구축된 지반 모델을 의미한다.
2.1.1 Peplinski 재료모델
FDTD 기법을 활용하여 GPR신호의 송신, 굴절 및 반사 등을 시뮬레이션하기 위해서는 재료의 전기적 특성에 대한 파라미터가 입력되어야 한다. 이때, 재료의 전기적 특성에 대한 파라미터는 재료의 전자기적 특성과 분산 특성으로 구분할 수 있다. 전자기적 특성과 관련된 입력 파라미터는 재료의 상대 유전율(Relative permittivity, ), 전기전도도(Conductivity, ), 상대 투자율(Relative permeability, ), 자기손실(Magnetic loss, )이 있다.
Peplinski et al.(1995)는 Dobson et al.(1985)가 연구했던 1.4GHz~13.0GHz에서 흙의 전기적 특성을 유추하는 연구를 개선하였다. 이를 통해 0.3GHz~1.3GHz의 주파수 범위에서 적용 가능하도록 모델을 개량했으며, 이러한 주파수 범위는 일반적으로 GPR 탐사에서 주로 사용하는 주파수 대역에 적용 가능하다.
식 (1)은 Dobson et al.(1985)이 제안한 유전율 식이며, 식 (2)~식 (6)은 Peplinski et al.(1995)의 연구에서 제시한 유전율 계산 식이다. 식 (7)은 유효 전기전도도를 계산하기 위한 수식이다. 상기 식에서 는 유전율의 실수부, 는 유전율의 허수부, 는 진공에서의 유전율, 는 흙 입자의 밀도, 는 체적 밀도, 는 모래 입자의 상대 유전율, 는 함수비, 는 물의 유전율, 는 모래 함유율, 는 점토 함유율, 는 상수(=0.65), 는 유효 전기전도도를 의미한다.
2.1.2 프랙탈
프랙탈이란 자연과 유사한 복잡한 패턴이나 구조를 생성하기 위해 반복적인 수학적 알고리즘을 의미한다. 프랙탈은 자기유사성(Self-similarity)이라는 특징을 가지고 있어, 작은 규모에서의 패턴이 큰 규모에서의 패턴과 유사한 형태를 보이는 것이 특징이다. 이러한 프랙탈 구조는 자연에서 발생하는 다양한 형태 유사하게 모델링하는 데 유용하게 사용된다. Fig. 1은 Mandelbrot(1989)가 프랙탈 패턴의 예시로 사용한 시에르핀스키(Sierpiński triangle) 삼각형의 예시이며, 시에르핀스키 가스켓(Sierpiński gasket)이라고 불린다.
프랙탈 차원(Fractal dimension)은 프랙탈의 복잡성과 불규칙성을 수치로 나타내는 지표이며, 이는 일부 공간에서 패턴의 조밀도를 의미한다(Ivanovici and Richard, 2011). Turcotte(1997)에 따르면, 프랙탈 차원의 계산은 식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, 은 의 길이를 갖는 개체의 수를 의미한다. 예를 들어 Fig. 1과 같은 그림에서 차원수를 계산하면, , 이며, , 으로 차원수는 으로 계산할 수 있다.
gprMax에서는 Peplinski 재료 모델을 통해 계산된 재료의 전자기적 특성을 프랙탈 기법을 통해 지반에 분포시키며, 프랙탈 차원수와 프랙탈 가중치를 통해 X, Y, Z 축 방향에 대해 재료가 확률적으로 분포되는 방식을 제어한다. 이러한 방식을 이용하여 실제 지반 재료모델의 분포에 맞춰 수치해석 모델을 생성할 수 있다.
2.2 자기상관 함수 및 상관 길이
Franceschetti and Riccio(2006)의 저서에 따르면, 확률 과정 은 표면 기하학적 특성의 모델링에서 표면을 나타내는 값이며, 은 평면의 벡터 좌표를 의미한다. 3차원 데이터 는 Fig. 2와 같이 나타낼 수 있다.
Franceschetti and Riccio(2006)는 확률 과정의 자기상관 및 자기공분산을 식 (9)~식 (14)와 같이 나타내었다. 해당 저서에 따르면, 확률 과정의 통계적 평균은 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.
확률 과정의 자기상관(Autocorrelation)은 2차 확률밀도함수(Probability-density function)의 평균으로 정의되며, 식 (10)과 같이 나타낼 수 있다.
자기공분산(Autocovariance)은 식 (11)과 같이 정의되며, 정규화된 자기공분산 함수는 식 (12)와 같이 정의된다.
자기상관은 공간지연(Space lag, ) 또는 두 위치 사이의 거리에만 의존하며, 식 (13)과 같다. 여기서, 공간 지연은 로 나타내어진다.
식 (12)에 따라 확률 과정의 상관 계수는 식 (14)와 같이 정의된다.
일반적으로, 자기상관 계수는 공간 지연이 증가할수록 감소하는 경향을 보인다.
GPR 탐사 데이터에서 상관 길이를 계산하기 위해 GPR 데이터를 식 (15)와 같이 정의하였다. 식 (15)에서 는 탐사 심도 방향 데이터, 는 탐사 경로 방향 데이터를 의미한다.
에 대해 방향의 자기공분산을 계산하기 위해, 각 에 대한 평균을 계산하면 식 (16)과 같이 나타낼 수 있다.
GPR 데이터의 방향 자기공분산은 식 (17)과 같이 계산할 수 있다. 여기서, 는 탐사 시작점을 기준으로 한 탐사 이동거리를 의미한다.
계산된 자기공분산 와 식 (14)를 이용하여 자기상관 계수 를 계산할 수 있다.
본 연구에서는 GPR 데이터에서 클러터를 정량적으로 평가하기 위해 GPR 데이터를 시간 및 공간에 대한 신호의 세기 값을 갖는 3차원 평면으로 설정하였다. 와 식 (14)를 통해 계산된 를 곡선 적합(Curve fitting)하고 매개변수를 산출하여 상관 길이를 계산하였다. 곡선 적합은 지수 자기상관 함수(Exponential autocorrelation function)를 이용하였으며, 이를 수식으로 나타내면 식 (18)과 같다. 여기서, 은 상관 길이(Correlation length)를 의미한다. 상관 길이는 두 변수가 서로 관련되는 거리를 의미하며, 두 변수 간의 관계의 강도와 방향을 결정하기 위해 사용된다.
GPR 탐사 데이터의 경우, 탐사 거리를 무한히 증가시킬 수 없다. 제한된 탐사 범위 내에서는 초기 신호의 형태가 탐사 범위 내에서 지속적으로 관찰될 수 있으며, 이로 인해 자기상관 함수가 0으로 수렴하지 못하는 현상이 발생한다. 이는 자기상관 함수의 곡선 적합에 영향을 주어 제대로 된 적합 방정식을 산정할 수 없다. 따라서, 본 연구에서는 항을 추가하여 곡선 적합을 수행하고 이를 이용하여 상관 길이 을 산정하였다.
3. 현장 데이터의 상관 길이 계산
실제 GPR 탐사 데이터를 통해 상관 길이를 도출하였다. 현장 데이터는 부산대학교(A 현장) 및 가평 테스트베드(B 현장) 현장 탐사 데이터를 이용하였으며, 현장 실험에 적용된 GPR 장비는 GSSI사의 Utility Scan 4000 Pro를 이용하였다. A 현장의 경우, 보도블록으로 포장된 지역에서 탐사를 수행하였으며, B 현장의 경우 아스팔트 포장에서 탐사를 수행하였다(Fig. 3). 장비의 송신 주파수는 350MHz이며, 1회 스캔당 샘플링 수는 A 현장 1,024개, B 현장 512개를 취득하였다. A 현장은 오폐수 및 급수 관로도를 기반으로 탐사 구간을 설정하였으며, 탐사 구간은 Fig. 4와 같다. B 현장은 1차선~4차선 테스트베드에 대한 탐사 데이터를 이용하였으며, 탐사 지역의 평면도 및 매설물 종류는 Fig. 5와 같다.
A 현장 및 B 현장의 매설물은 원형 관로 형상이며, A 현장은 총 3.0m까지 탐사하였으며, 매설 심도는 1.0m~ 2.0m이다. B 현장은 2.0m~7.2m까지 다양한 심도에 대해 탐사를 수행했으며, 매설심도는 0.5m~3.0m이다.
현장 데이터에 대한 자기상관 함수를 계산하고, 상관 계수 및 상관 길이를 계산하여 이를 히스토그램(Histogram)으로 작도하여 Fig. 6에 나타내었다. A 현장의 상관 길이는 대부분 10cm 이상 50cm 미만으로 나타났으며, B 현장의 상관 길이는 대부분 10cm 이상 60cm 미만으로 나타났다.
현장 데이터에 자기상관 함수를 적합할 때, 상관 길이에 대한 표준 오차를 계산하여 곡선 적합의 정확성을 확인하였다. A 현장 및 B 현장의 상관 길이에 대한 표준 오차는 Fig. 7에 나타내었다. A 현장의 경우 상관 길이의 표준 오차가 대부분 4.0 미만인 것으로 나타났다. B 현장의 경우 표준오차가 20.0 이상까지 증가하는 사례도 있는 것으로 나타났으며, 상관 길이가 증가함에 따라 표준 오차도 증가하는 경향을 보였다. 특히, 상관 길이의 표준오차가 A 현장에 비해 큰 경우가 다수 발견되었다.
두 현장 데이터에 대한 일반적인 상관 길이를 계산하기 위해, 상관 길이의 표준 오차 범위를 조정하며 상관 길이의 평균과 표준 편차를 계산하여 경향을 분석하였다. 이를 통해 각 데이터의 상관 길이 분포와 그 변동성을 파악하였다. Fig. 8은 A 현장 및 B 현장의 표준 오차 범위에 따른 상관 길이와 상관 길이의 표준 편차를 나타낸 그래프이다.
A 현장의 경우 표준 오차의 범위가 4.0 이상에서 상관 길이의 표준 편차가 일정하게 유지되는 것을 확인할 수 있는데, 이는 대부분의 데이터가 표준 오차 4.0 미만으로 이루어져 있다는 것을 의미한다. 이는 적합 곡선을 이용한 오차제곱합(Sum of Square for Error, SSE)에서도 유사한 경향을 보인다(Fig. 9).
B 현장은 표준 오차 범위가 5.0에서 상관 길이의 표준 편차와 6.0 에서의 상관 길이의 표준 편차의 차이가 4.0 이상 발생하는 것을 확인할 수 있다. 이는 B 현장에서 상관 길이의 표준 오차가 5.0 이상에서 상관 길이가 100.0이 넘어가는 이상치가 포함되어 발생하는 것으로 사료된다. 반면, 오차제곱합의 경우, 상관 길이의 표준오차 범위 4.0을 기준으로 급격하게 증가하는 모습을 확인할 수 있다.
따라서, 본 연구에서는 표준 오차 4.0 이하의 데이터를 이용하여 상관 길이를 계산하였다. A 현장의 상관 길이는 29.02cm, B 현장의 상관 길이는 25.38cm로 결정하였다.
4. 프랙탈 가중치에 따른 상관 길이 계산
프랙탈 가중치에 따른 수치해석은 2차원 해석을 통해 B-Scan 데이터를 분석하였으며, 프랙탈 가중치는 X, Y 축 가중치(, )에 대해 0.1에서 2.0 범위로 조절하였다. 해석에 적용된 Peplinski 모델의 입력 파라미터와 프랙탈 가중치는 Table 1과 같다. 해석 모델의 크기는 16.0m × 6.0m로 설정하였으며, 지반 모델의 중심에 관로를 배치하였다. 해석 모델의 크기(, ), 관로 중심 좌표(, ) 및 크기(), 파형에 대한 입력 파라미터(Wave type, )를 정리하여 Table 2에 나타냈다.
Table 1.
Table 2.
Model parameters | Δl (mm) | Ground (m) | Pipe (m) | |||
W | H | xc | yc | D | ||
6 | 16.0 | 6.0 | 8.0 | 4.0 | 1.0 | |
Waveform | Wave type | f (MHz) | ||||
Ricker | 350 |
각 가중치에 대한 해석 모델은 Fig. 10과 같이 나타낼 수 있다.
Fig. 10의 (a), (b), (c), (d)의 경우, 가 1.0 보다 작은 해석 모델로 지면과 수직한 방향으로 재료 모델이 배치되는 것을 확인할 수 있으며, 의 값이 작을수록 재료 모델이 수직으로 배치되는 것을 확인할 수 있다. 이와는 반대로 Fig. 10의 (e), (f), (g), (h)는 재료 모델의 배치가 수평적으로 배치되며, 가 증가할수록 재료들이 수평으로 배치되는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 10에 대한 수치해석 결과를 Fig. 11에 나타내었다. 가 보다 큰 모델들의 B-Scan 데이터에서는 다수의 쌍곡선 형태의 데이터가 관측된 것을 확인할 수 있다. 이는 수직으로 배치된 재료 모델의 경계에 있는 미세한 요철로 인해 신호의 반사가 발생하기 때문이다. 또한 송수신기가 지표면을 이동함에도 재료모델이 변하지 않는 구간의 경우, 일정 시간 동안 노이즈가 발생하지 않는 형태의 결과를 보인다. 이러한 현상은 이 증가할수록 감소하게 된다.
Fig. 11의 해석결과를 곡선 적합하여 나타내면 Fig. 12와 Fig. 13 같이 나타낼 수 있다. Fig. 14는 에 대한 상관 길이와 Fig. 12 및 Fig. 13에 도시된 적합곡선 매개변수의 표준 오차를 나타낸 것이다.
Fig. 14는 프랙탈 가중치에 따른 상관 길이와 상관 길이의 표준 오차의 경향을 나타낸다. 가 1.0 보다 작은 모델의 수치해석 결과, 자기상관 계수 및 곡선 적합이 제대로 이루어지지 않은 것을 확인할 수 있다. 특히, 자기공분산이 음수와 양수를 파형의 형태로 변동하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 탐사 데이터가 탐사 경로 방향으로 특정한 주기성을 띈다고 분석할 수 있다. 반면 가 1.0에 근접할수록 식 (18)의 자기상관 함수에 정상적으로 적합되는 것을 확인할 수 있으며, 적합 함수 매개변수의 표준 오차 또한 급격하게 감소하는 것을 확인하였다. 또한 의 경향과 상관 길이의 경향이 비례하는 것을 확인할 수 있었다.
5. 결 론
본 연구에서는 GPR 데이터에서 지반 클러터를 정량적으로 평가하여 이를 FDTD 수치해석을 이용해 모사하기 위한 모델링 방법에 대한 연구를 수행하였다. 현장 데이터는 A 현장 및 B 현장의 GPR 탐사 데이터를 이용하였다. 수치해석 모델은 프랙탈 기법의 가중치를 변경하여 해석모델을 구성하고, FDTD 수치해석을 수행하였다.
GPR 탐사 거리에 대한 자기상관 계수를 계산하고 지수 자기상관 함수를 이용하여 탐사 거리에 따른 상관 계수에 대한 곡선적합을 수행하였다. 이를 통해 상관 길이를 산출하여 현장 탐사 데이터의 클러터를 정량적으로 평가하였다. 본 연구의 결론은 다음과 같다.
(1) A 현장의 상관 길이는 대부분 10cm 이상 50cm 미만의 상관 길이를 갖는 것으로 나타났다. 표준 오차의 범위에 따라 상관 길이를 도시한 결과, 표준 오차 4.0 이상에서는 평균 상관 길이의 변동이 없는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 상관 길이의 표준 오차가 대부분 4 미만에 분포한다는 것을 의미한다. 따라서, A 현장의 상관 길이는 표준 오차가 4 미만인 데이터의 평균 값인 29.02cm로 산출되었다.
(2) B 현장의 상관 길이는 주로 10cm~60cm에 분포하는 것을 확인할 수 있는데 30cm~60cm에서 유사한 빈도로 상관 길이가 분포하는 것을 확인할 수 있다. 평균 상관 길이의 경우, 표준 오차 범위 5.0을 기준으로 차이가 발생하며, 오차제곱합의 경우 4.0을 기준으로 급격한 변화를 확인할 수 있었다. 따라서, B 현장의 평균 상관 길이는 25.38cm로 결정하였다.
(3) 수치해석 모델은 프랙탈 가중치에 따른 해석결과를 분석하였다. 가 0.5인 경우를 기준으로 상관 길이에 대한 표준오차가 급격히 변하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 가 0.5보다 작은 경우 지반의 재료모델이 수직으로 생성되며, 일반적인 지반의 재료배치와 상이하기 때문인 것으로 사료된다. 반면 가 0.5 이상인 경우, 가 증가할수록 상관 길이가 증가하는 경향을 확인할 수 있다. 이는 재료 모델이 횡방향으로 생성되어 실제 지반 재료와 유사해지기 때문인 것으로 사료된다. 프랙탈 가중치가 가 20.0일 때, 상관 길이가 24.59cm 로 계산되어 현장 데이터와 유사한 상관 길이를 보이는 것으로 나타났다. 이는 현장 데이터의 클러터와 불균질한 지반모델로 인한 클러터가 유사한 경향을 보이는 것으로 판단된다. 따라서, 지반의 클러터를 모사하여 수치해석 모델을 구성하기 위해서는 을 20.0 이상으로 설정하는 것이 적절한 것으로 판단된다.
본 연구를 통해 현장 데이터의 클러터를 정량적으로 평가하고 이를 수치해석 모델에 반영하여 현장의 클러터를 모사할 수 있는 해석 조건을 규명하였다. 이는 특정 현장의 수치해석 모델을 구축할 때, 해당 현장의 상관 길이를 분석하고 이를 해석 모델에 적용할 수 있다. 그러나, 본 연구의 현장실험은 보도블록, 아스팔트 등으로 포장된 도로에 대한 데이터로 두 현장의 상관 길이가 유사하게 나왔으나, 포장 상태, 함수비, 지반의 입도 분포 등 현장의 상황에 따라 다양한 상관 길이를 가질 수 있다. 따라서 상관 길이에 영향을 줄 수 있는 다양한 조건에 대한 추가적인 연구가 필요하다.