1. 서 론
2. 비탈면 안정해석을 위한 해석기법
2.1 지배방정식
2.2 구성방정식
3. 해석기법의 검증
4. 해석기법의 커플링 효과 분석
4.1 균질한 지층의 커플링 해석
4.2 비탈면의 커플링 해석
5. 결 론
1. 서 론
강우침투에 의한 비탈면 붕괴는 전세계적으로 사회적, 경제적인 큰 피해를 야기시키고 있으며, 인명피해가 발생함에 따라 재해 발생원인과 보강 대책에 관심이 집중되고 있다. 비탈면 붕괴는 일시적인 습윤대(wetting band)가 형성되어 전단강도 감소가 주된 원인이 될 수 있으며(Cho and Lee, 2001, Jeong et al., 2008, Kim et al., 2012), 지하수의 흐름, 지형, 배수상태, 수리학-역학적 거동 등에 따라서도 크게 영향 받을 수 있다(Iverson, 2000; Lu and Likos, 2004). 비탈면 붕괴는 토석류(debris flow)로 발전하여 그 피해를 증가시키기도 한다(Marchi et al., 2002).
이러한 비탈면 붕괴와 피해를 예측하기 위한 연구는 국내외 적으로 꾸준히 수행되고 있다. 위험도 분석으로는 경험적인 방법 (Huabin et al., 2005; Song et al., 2013), 통계적인 방법 (Guzzetti et al., 2008; Lee et al., 2012), 공학적인 방법(Lepore et al., 2013, Jeong et al., 2014)을 이용하여 비탈면 재해를 예측할 수 있는 연구가 수행되고 있으며, 특히 GIS기반의 산사태 위험도 분석에 관한 연구가 활발히 진행 중이다(Kim et al., 2014). 한편, 건설공사 비탈면 설계기준이 개정됨에 따라 강우에 의한 침투해석과 비탈면 안정 해석의 중요성이 높아짐에 따라 관련 연구가 활발히 진행되고 있다. 기본적으로는 침투와 비탈면 안정해석을 분리하여 해석할 수 있는 프로그램들이(GEO-SLOPE, 2012; SOIL WORKS, 2012) 개발됨에 따라 이를 활용한 연구들이 수행되고 있다(Rahardjo et al., 2007; Borja et al., 2012; Kim et al., 2013). 또한 비탈면의 복잡한 현상 중 하나인 수리학적-역학적 특성을 동시에 고려한 유한요소해석 기법들이 개발됨에 따라 보다 현실성 있는 수치해석이 가능하게 되었다. 커플링 이론은 Terzaghi(1925)와 Biot(1941)으로부터 시작되었으며, Alonso et al.(1990)의 Barcelona Basic Model을 시작으로 불포화토 커플링 해석이 본격적으로 시작되었다. 불포화토의 커플링 연구는 1) 구성방정식(constitutive model), 2) 역학적 거동(mechanical behavior), 3) 함수특성거동(water retention behavior)으로 크게 분류할 수 있으며, 수치해석적 방법을 통해 각각의 특성을 구현해 낼 수 있다. Wheeler et al.(2003)과 Sheng et al.(2008)은 불포화토의 구성방정식을 개발함에 있어 지반의 부피변화와 함수특성을 반영하였다. Borja(2004)는 점토지반의 불포화 특성을 고려한 구성방정식을 제안하였으며, 수치해석적으로 그 특성을 규명하였다. Cho and Lee (2001)와 Kim et al.(2012)는 불포화토의 커플링 해석을 비탈면 안정해석에 적용함으로써 기존의 단계별해석의 단점을 극복하였다. 커플링 해석을 비탈면 안정해석에 적용한 사례는 최근 들어 증가하고 있으나(Laloui et al., 2010; Borja and White, 2010; Sun et al., 2014), 위의 3가지 연구 주제와 관련된 모델 개발과 이를 검증하는 데에 집중되어 있어 비탈면 안정 해석 시, 커플링 효과에 대한 연구가 필요하다.
따라서, 본 연구에서는 수리학적-역학적 특성을 동시에 고려할 수 있는 유한요소해석기법(Kim, 2015; modified from Kim et al., 2012)을 바탕으로 비탈면 침투 및 안정해석에서의 커플링 효과를 분석하기 위하여, 수리학적-역학적 특성을 동시에 고려할 수 있는 coupled 해석과 이를 분리 해석하는 sequential 해석(GEO-SLOPE, 2012) 결과를 비교분석 하였다. 첫째로, 불포화 지반을 기둥(column) 형태로 모델링 하여 지중에서 발생하는 모관흡수력, 변위, 간극률, 평균유효응력을 비교하였다. 둘째로, 불포화 비탈면을 모델링 하여 비탈면 내에서 발생하는 변위와 파괴면에 따른 안전율을 비교 검토 하였다.
2. 비탈면 안정해석을 위한 해석기법
2.1 지배방정식
본 해석기법은 mixture theory(Coussy, 2010)에 근간을 두고 있으며, 토립자의 변위(u)와 간극수압(pw)을 계산하기 위하여 평형방정식(Balance equation)과 질량보존의 법칙(Balance of mass)을 기본가정으로 하고 있다. 불포화토 내 물의 이동은 흙 입자의 움직임에 종속되기 때문에 흙 입자에 대한 평형방정식(Balance of linear momentum)으로부터 변위를 계산할 수 있으며, 불포화토 내 물의 흐름을 파악하는 평형방정식(balance of mass for water)으로부터 간극수압을 계산할 수 있다. 본 연구에서는 수리학적-역학적(Hydro-mechanical)특성을 동시에 고려한 비탈면 안정해석 기법을 개발하였으며, 지배방정식은 다음과 같다(Kim et al., 2012).
(1)
(2)
여기서 σ는 전응력, ρ는 밀도, g는 중력가속도, n은 간극률, S는 포화도, s는 모관흡수력, 
는 시간에 따른 간극수압, v는 흙 입자의 흐름 속도, 
는 실제 물의 속도(vw)와 흙 입자의 속도(v)의 차이를 나타낸다.
또한 응력 해석을 위하여 필요한 유효응력 구성방정식(Bishop, 1954)과 불포화토 내 물의 흐름을 파악할 수 있는 Darcy’s law는 Eq. (3)과 Eq. (4)와 같이 나타낼 수 있다.
(3)
(4)
여기서, kw는 불포화토 투수계수, ρwR(=ρw/nw)는 물의 실제 밀도, χ는 유효응력계수를 나타내며 Lu et al. (2010)의 유효포화도 개념을 유효응력계수로 적용하였다. 시간에 따른 침투와 지반응력 산정에 필요한 간극률, 그리고 전체 밀도는 Eq. (5)와 Eq. (6)으로부터 계산할 수 있다.
(5)
(6)
여기서 침투 또는 외부하중에 의해 변화하는 간극률은 체적변형률(Δεv)의 함수, ρsR는 순수 지반의 밀도, ρwR는 순수 물의 밀도이며, 전체밀도(ρ) 역시 시간에 따른 간극률(n(d))과 포화도(S(θ))에 따라 결정된다.
유한요소 해석을 위하여 가중잔류항법(weighted residual method)을 적용하였으며, 각 요소(element)별 강성행렬을 계산하기 위하여 반 내재적(semi-implicit time integration)방법을 이용하여 결과를 도출하였다(Kim et al., 2012).
2.2 구성방정식
불포화토의 역학적 거동은 유효응력 변화에 큰 영향을 받으며, 모관흡수력의 크기에 따라 응력상태가 변하게 된다. Bishop(1954)은 지반의 포화도(degree of saturation)에 따른 유효응력 계수(χ)를 제안하여 불포화 특성을 고려하고자 하였으며, 이를 기반으로 하여 많은 연구자들이 다양한 형태와 조건의 유효응력계수를 제안하였다(Khalili et al., 2004; Lu et al., 2010). 이러한 유효응력계수는 불포화 지반의 파괴상태를 적절히 구현하지 못하는 한계가 있어(Jennings and Burland, 1962), 불포화 조건들이 구성방정식과 그의 응력상태에 직접적으로 영향을 줄 수 있도록 새로운 구성모델(constitutive model)이 개발되어 왔다(Alonso et al., 1990; Kohgo et al., 1993; Borja, 2004; Zhou et al., 2012). 기존의 개발된 불포화토 구성모델은 지반의 부피변화(volume change)를 구현할 수 있는 점토 또는 실트질 지반에 국한되어 있으며, 탄소성 이론을 적용하는 계산과정이 복잡하고 입력 물성치를 산정하는데 어려움이 많다. 또한 국내 산지 및 절･성토 비탈면의 경우, 통일분류법 상 SM, SP 계열의 지반이 우세하기 때문에 이에 적용 할 수 있는 간편한 모델이 필요하다.
본 연구에서는 Drucker-Prager 모델을 기반하여 불포화 비탈면의 침투 및 안정해석에 적용할 수 있는 식 (7)과 같이 구성모델을 수정･제시하였다. 유효응력에 기반하여 항복면이 정의되며, 포화도에 따라 지반의 탄소성 영역이 유동적으로 변할 수 있도록 하였다.
(7)
여기서 s′는 유효 축차응력(effective deviatoric stress), p′는 평균유효응력(mean effective sterss), c′는 유효 점착력, 
′는 유효내부마찰각, β=-1은 Drucker-Prager 모델을 Mohr-Coulomb 삼축압축강도(TC)를 나타내는 항복경계면, β=1은 Mohr-Coulomb 삼축인장강도(TE)를 나타내는 항복경계면에 해당한다. 불포화 상태일 경우에는(포화도 < 100%) Fig. 1과 같이 탄성영역이 확장되도록 하였으며, 포화상태에 도달하였을 경우에는(포화도=100%) 일반적인 Drucker-Prager 모델의 탄소성 규준을 따르게 된다(Kim, 2015).
3. 해석기법의 검증
본 연구에서는 해석기법의 수리학적 특성인 강우침투 거동을 검증하기 위하여 침투해석결과를 산사태 발생 지역에서 직접 측정한 현장 모관흡수력(Kim et al., 2014)의 결과와 비교 분석을 수행하였다. 비탈면의 모관흡수력의 변화를 관찰하기 위하여 산사태 발생 이력이 있는 서울 우면산 레미안 지역에서 현장계측을 수행하였으며, 그 결과를 해석기법 결과와 비교분석 하였다.
Fig. 2와 같이 현장계측은 지류를 따라 종단방향(계곡부)으로 6개 지점에서 계측을 수행하였다. 설치위치에 따라 주변 환경적인 요인들을 최소화 하기 위하여 비탈면 상부에서부터 설치를 시작하였고, 각 지점의 장력계 간격이 500m를 넘지 않도록 하였다. 또한 지점마다 심도에 따른 모관흡수력을 측정하기 위하여 흙의 풍화가 진행될 수 있는 깊이(심도 20～30cm)에 장력계를 설치하였다.
현장계측결과를 분석하기 위하여 현장 채취시료의 기본물성실험을 수행하였다. 또한 불포화특성 파악하기 위하여 함수특성곡선(soil-water characteristic curve) 시험을 수행하여 van Genuchten(1980)모델로부터 매개변수(fitting parameter)를 산정하였고(Fig. 3), 이로부터 불포화 투수계수를 추정하였다. 해석에 사용된 물성은 Table 1에 나타내었다. 강우조건은 현장계측 당시 측정된 실시간 강수량을 적용하였다.
106 Pa, 7
106 Pa
′, c′)
103 Pa위에서 언급한 6개의 계측결과 중, T1의 계측결과를 바탕으로 해석기법 결과와 비교분석을 수행하였다. Fig. 4에 나타낸 바와 같이 장력계의 설치심도는 30cm, 70cm, 110cm 이다. 건기를 지나 2012년 6월 30일 강우발생 이후 모관흡수력은 6kPa까지 빠르게 감소하였으며, 시간이 지남에 따라 약 20kPa정도의 잔류 모관흡수력을 나타냈었다. 심도가 깊을수록 모관흡수력 감소가 지체되는 것을 확인할 수 있으며, 본 해석기법의 결과와 매우 유사한 경향을 보이고 있다. 따라서 본 해석기법은 현장상태의 침투현상을 적절히 모사할 수 있는 것으로 확인되었다.
4. 해석기법의 커플링 효과 분석
본 장에서는 해석기법을 바탕으로 수리학적-역학적 특성을 동시에 고려한 해석의 커플링 효과를 분석하기 위하여 다양한 조건에서의 수치해석을 수행하였으며, 상용프로그램인 GEO-SLOPE(2012)과 결과를 비교하였다. 먼저, 균질한 지층(soil column)을 모사하여 지반조건에 따른 모관흡수력을 비교검토 하였으며, 지반 내 발생 변위, 간극률, 평균유효응력(mean effective stress)의 변화를 도시하였다. 다음으로, 일반적인 비탈면을 모사하여 지반조건, 강우강도, 비탈면 경사에 따른 안전율을 단계별 해석 결과와 비교하여 커플링 효과를 분석하였다.
4.1 균질한 지층의 커플링 해석
Fig. 5에 나타낸 바와 같이 가로 1m, 세로 3m의 기둥(column)형태로 균질한 지반을 모델링 하였으며, 지하수위 상부로 모관흡수력이 작용하도록 초기조건을 설정하였다. 지반은 clay, silt loam, loam의 3가지 조건으로 해석을 수행하였으며, 사용된 물성은 Table 2와 3에 나타내었다.
10-6
10-7
10-9
′, c′)
103 PaFig. 6은 각각의 지반조건에 따른 심도 별 수두변화를 비교하여 도시한 것이다. 그 결과, 단계별 해석의 압력수두는 커플링 해석보다 더 빠르게 증가하여 초기 조건에 빠르게 이르는 것을 확인 할 수 있다. 특히, 투수계수가 큰 loam지반에서 그 차이가 크게 나타나고 있으며, 투수계수가 작아질수록 압력수두 변화는 해석 방법에 따라 큰 차이를 보이지 않는다. 커플링 해석의 경우, 물이 침투됨에 따라 변형이 발생하고 지반 내 간극률이 변하게 됨에 따라(Fig. 7) 지반의 투수계수 및 침투속도가 원지반 상태와 달라지기 때문에 차이가 발생한 것으로 판단된다. 이 때문에 지반 내 발생하는 변위도 커플링 해석에서 크게 발생하고 있으며, 최대변위 발생 시간에도 차이가 나타난다(Fig. 8).
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Fig. 7. Variation in porosity of soil column |
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Fig. 8. Variation in vertical displacement of soil column |
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Fig. 9. Time histories of mean effective stress |
Fig. 9는 시간에 따른 평균 유효응력을 단계별 해석과 커플링 해석의 결과를 비교 도시한 것이다. 해석 초기에는 중력의 작용으로 인하여 두 해석방법 모두에서 평균 유효응력이 큰 폭으로 증가하였다. 시간이 경과함에 따라 단계별 해석에서는 모든 심도에서 일정한 값을 유지하는 반면, 심도 2m(node 13)의 커플링 해석 결과에서는 강우침투에 의한 단위중량 증가로 인하여 유효응력이 증가하는 경향을 보이고 있다. 한편, 커플링 해석의 심도 1m(node 7)에서는 단위중량 증가 효과로 인하여 평균 유효응력이 증가하는 추세를 보이다가 약 8시간 이후부터는 다시 감소하는 경향을 나타내었다. 이는 지표부근이 포화됨에 따라 양의 간극수압이 발생하여 유효응력에 영향을 준 것으로 판단된다(Cho and Lee, 2001).
4.2 비탈면의 커플링 해석
본 절에서는 비탈면에서의 커플링 효과를 분석하기 위하여 Fig. 10과 같이 2차원 비탈면을 모델링하여 강우침투와 안정해석을 수행하였으며, 비탈면 내에서 발생한 변위와 안전율을 비교 분석하였다. 지반조건은 서울, 여주, 김해 지역에서 채취한 시료를 바탕으로 기본물성 실험과 함수특성곡선 실험을 수행하여 대표적인 2가지 지반으로 분류하였으며, 수치해석에 사용된 수리학적 물성과 역학적 물성은 Table 4와 5에 나타내었다(Kim et al., 2013).
′, c′)
103 Pa강우강도는 일상에서 자주 발생되는 10mm/h와 얕은 사면파괴를 유발할 가능성이 큰 30mm/h, 50mm/h를 사용하였다(Jeong et al., 2009). 강우지속시간의 경우에는 강우강도에 의해 사면 표층부가 완전 포화되는 시간만큼 해석을 수해하였으며 그 범위는 12시간～72시간이다. 또한 본 해석에서는 Fig. 13과 같이 사면높이가 10m로 일정하며, 사면의 경사는 30°, 45°, 60°로 변화시켜가면서 안전율 변화를 분석하였다. 사면 전체 영역은 등방(isotropic)인 지반으로 가정하였으며, 좌우측면과 하부 경계면은 불투수 경계조건으로 이에 수직한 방향으로는 공기와 물의 흐름이 발생하지 않는다고 가정하였다. 또한 좌우측면은 수평방향 변위를, 하부 경계면은 연직방향의 변위를 구속하였다. 초기 지하수위는 건기 시를 가정하여 사면 바닥에서 3m 높이에서부터 7°경사를 가지고 선형적으로 증가하는 것으로 설정하였으며, 지하수위 상부인 불포화토 영역에서는 높이에 따라 최대 모관흡수력을 75kPa로 설정하였다(Rahardjo et al., 2010; Kim et al., 2014). 단계별 해석과 커플링 해석은 모두 같은 조건에서 해석이 수행되었으며, 커플링 해석의 안전율 및 파괴면 산정은 Cho and Lee(2001)가 제안한 응력을 이용한 방법을 사용하였다.
(8)
(9)
(10)
(11)
여기서, Γ는 파괴면의 길이, σ'n은 평균 수직 유효응력, 
b는 모관흡수력에 따른 내부마찰각, α는 파괴면의 각도, σx, σy, τxy는 각 방향에 따른 지반의 응력값 이다.
Fig. 11은 비탈면의 수직 및 수평변위를 비교하여 도시한 것이다. 수직변위는 중력과 강우 침투에 의해 발생된 비탈면 상부의 변위이며, 수평변위는 경사부근에서 측정하였다. 그 결과, 변위발생 경향은 두 해석방법에서 유사하게 나타났으나, 커플링 해석의 수직변위가 최대 40%, 수평변위가 최대 10% 정도 크게 발생하였다. 이는 커플링 해석에서 강우침투에 따른 간극률과 유효응력의 변화를 고려할 수 있기 때문으로 판단된다.
파괴면의 경우, 단계별 해석은 각 단계의 최소안전율을 갖는 1개의 파괴면을 나타내 주지만(Fig. 12(b)) 커플링 해석에서는 응력장으로부터 산정된 파괴면을 단계별로 나타낼 수 있으며, 강우가 지속됨에 따라 파괴면이 점점 깊어지는 것을 확인할 수 있다(Fig. 12(a)). Fig. 12(b)와 같이 커플링 해석의 최종적인 파괴면이 단계별 해석 결과보다 같거나 크게 발생하였고, 지중에서 변화하는 응력과 간극수압을 파괴면 산정에 고려할 수 있기 때문에 강우 지속시간이 길어질 경우에는 파괴면의 크기가 현저히 달라질 것으로 예상된다.
각각의 파괴면에 따른 안전율은 단계별 해석 결과와 비교하여 Fig. 13에 나타내었다. 다양한 강우강도와 비탈면 경사에 따른 초기 안전율은 해석방법에 관계없이 유사하게 나타났으나, 강우발생 직후의 안전율 감소는 커플링 해석결과에서 크게 나타났다. 이는 강우발생 시 지반의 초기모관흡수력이 급격히 감소하여 안전율을 산정하는 과정에 반영되었기 때문으로 판단되며, 단계별 해석에서는 모관흡수력에 따른 지반물성(
b)에 의해 안전율이 산정되기 때문이다. 또한 커플링 해석에서는 변위가 발생함에 따라 안전율에 불리한 응력이 반복적으로 계산됨에 따라 그 차이가 발생하는 것이다.
강우가 지속됨에 안전율이 점점 감소하여 최소의 안전율에 이르게 되며, 강우강도에 따라 그 변화율에 큰 차이를 보이게 된다. 여기서 주목할 것은 단계별 해석과 커플링 해석의 안전율의 차이는 강우 발생 이후 24～36시간 이전에 크게 나타나고 있으며, 비탈면의 경사가 급해질수록 그 차이는 미미한 것으로 나타났다. 따라서 비탈면 안정해석에서의 커플링 해석은 단시간 집중강우가 발생하였을 때 단계별 해석 보다 낮은 안전율을 나타내고 있다. 또한 비탈면의 경사가 급해질수록 해석방법간의 안전율의 차이가 미미하기 때문에 강우에 의한 요인 보다는 경사가 비탈면의 불안정 성에 큰 영향을 주는 것으로 판단된다. Fig. 13에 나타낸 안전율은 Table 6에 정리하여 나타내었다.
5. 결 론
본 연구에서는 강우침투 및 비탈면 안정 해석의 커플링 효과를 분석하기 위하여 수리학적-역학적 특성을 고려한 유한요소해석 기법과 GEO-SLOPE의 단계별 해석 결과를 비교 분석하였으며, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
(1)커플링 해석은 강우 침투와 지반의 변형을 동시에 고려할 수 있어 단계별 해석과는 달리 지반의 간극률 변화를 고려할 수 있다. 또한 간극률의 변화는 지반의 투수계수에 영향을 주기 때문에 침투에 영향을 미치게 된다. 따라서 커플링 해석을 통해 산정된 변위는 단계별 해석에 비해 크게 나타났으며, 모관흡수력의 감소는 단계별 해석에서 더 크게 발생하였다.
(2)커플링 해석은 지반의 포화도, 모관흡수력 정도에 따라 유효응력의 변화를 고려할 수 있으며, 수직 및 수평 변위 발생에 따라 비탈면 불안정에 큰 영향을 미친다. 또한, 강우가 지속됨에 따라 비탈면의 파괴면이 점점 깊어지는 현상이 나타나기 때문에 단계별 해석과는 달리 점진적 파괴 거동을 확인 할 수 있으며, 보다 큰 파괴면을 나타낸다.
(3)비탈면 안정해석 시, 단시간(24～36h)동안 강우가 발생할 경우 커플링 효과가 크게 나타나 단계별 해석에 비해 낮은 안전율을 나타냈으며, 50mm/h 이상의 강우가 발생하거나 비탈면 경사가 급할수록 커플링 효과는 미미 한 것으로 나타났다. 이는 비탈면 경사가 급해질수록 강우에 의한 수리학적 특성 보다는 경사에 의한 역학적 불안정성이 더 크게 작용하기 때문이다. 따라서, 단기간에 발생하는 집중호우에 대비하기 위해서는 커플링 해석을 통한 비탈면 설계가 이루어져야 할 것으로 판단된다.
