1. 서 론

기후변화(climate change)로 인한 홍수의 강도와 발생빈도의 증가는 전 세계적인 현상이다. 댐 및 하천제방 등의 홍수방어시설에 적용된 설계기준을 넘어서는 극한홍수가 발생하면서 제체에 가해지는 하중이 증가하고 있으며 이로 인한 재해 발생이 증가하는 추세이다. 따라서 이에 대비하기 위해서 발생 가능한 다양한 하중 상태에 대하여 기존 댐 및 제방의 성능을 평가하고 대비하기 위한 기술개발이 필요하다. 극한홍수에 대응하기 위한 홍수 위험도 관리(flood risk management)의 필수 요소인 홍수 위험도 평가(flood risk assessment)를 위해서는 홍수방어시설의 여러 파괴 메커니즘에 대한 신뢰도 해석이 필요하다(Mainguenaud et al., 2023). 제체의 파괴는 주로 월류, 침투에 의한 내적침식(internal erosion), 침하, 사면불안정 등에 의하여 발생하는 것으로 알려져 있으며, 이와 관련하여 확률론적 틀에서 제방의 파괴메커니즘을 해석하는 다양한 연구가 수행되고 있다(e.g. Fenton and Griffiths, 1997; Griffiths and Fenton, 1998; Cho, 2007; Cho, 2022; Sharafati et al., 2020).

수위급강하(rapid drawdown)는 하천 및 저수지의 수위 변동에 따른 제체의 주요 파괴모드 중의 하나이다. 수위의 저하는 비탈면에 작용하는 수압으로 인한 사면안정 효과를 감소시키는 반면 제체 내부에 작용하는 수압은 빠르게 소산되지 않고 잔류할 수 있어 사면의 불안정이 발생한다. 수위급강하에 의한 제체 사면의 안정성을 검토하기 위해 다양한 방법들이 사용되었다. 제체가 불투수성의 재료로 이루어진 경우에는 간극수압의 소산이 수위의 하강에 비해 훨씬 느리므로 제체 내부의 흐름을 무시하고 비배수로 고려한다(Morgenstern, 1963; Lane and Grigffiths, 2000). 제체가 투수성 재료로 이루어진 경우에는 시간에 따른 경계조건의 변동을 고려한 침투해석을 수행한다. 이때 흙의 변형은 일반적으로 무시되지만, 변형과 흐름이 완전 연동된 해석(fully coupled flow deformation analysis)을 수행할 수도 있다(Pinyol, 2008).

기존의 수위급강하에 대한 제체의 안정성 평가는 안전율을 계산하여 경험에 의한 기준 안전율과 비교함으로써 수행되어왔다. 수위급강하에 따라 제체의 간극수압분포가 변하므로 시간 경과에 따라 제체 사면의 안전율을 계산하고 특정 시간 단계에서 가장 작은 최소 안전율을 결정할 수 있다. 그러나 흙의 특성은 근원적으로 불확실성을 내포하고 있으므로 지반의 불확실성과 변동성을 합리적으로 고려하기 위하여 수위급강하 해석에도 확률론적 해석이 도입되고 있다(Siacara et al., 2020; Guardiani, 2022; Li et al., 2022). 수위급강하 문제는 시간 의존적이므로 확률론적 해석은 계산의 효율적인 면을 고려하여 PEM(Point Estimate Method), FORM(First-Order Reliability Method) 등의 근사해법이 사용될 수 있지만, 정확성을 고려하여 MCS(Monte Carlo Simulation)가 주로 사용된다. 직접적인 MCS를 이용할 경우 계산시간이 과도하게 소요되므로 응답면 기법(Response Surface Method, RSM)이나 대체 모델(surrogate model)을 이용하여 한계상태함수(limit state function)를 근사화하는 방법이 사용되었다.

확률론적 해석을 수행하여 제체의 신뢰도를 평가하기 위하여 취약도 곡선이 이용될 수 있다. 취약도 곡선은 가능한 범위의 하중 조건들에 대한 조건부 파괴확률을 나타내며 제방의 특정 파괴메커니즘에 대한 신뢰도는 취약도 곡선에 의해 특징지어질 수 있다. 제방에 작용하는 하중은 일반적으로 수위로 주어지며, 특정 수위가 발생할 확률은 주어진 홍수 재현주기(flood return period)에 대응된다. 댐 및 제방의 다양한 손상상태에 대한 위험도 평가를 위한 취약도 곡선 작성에 대한 다양한 연구가 수행되었다(USACE, 1996; Dawson et al., 2005; Vorogushyn et al., 2009; Wojciechowska et al., 2015; Cho, 2021; Rossi et al., 2021; Mainguenaud et al., 2023).

제방에서의 수위급강하에 따른 시간 의존적 확률론적 사면안정 해석에 대한 연구가 많지 않으므로 제방의 취약도 곡선 작성을 위한 체계적인 연구가 필요하다. 본 연구에서는 확률론적인 방법을 적용하여 수위급강하에 의한 제체 사면의 시간에 따른 안정성 평가를 수행하였다. MCS를 수행함으로써 파괴확률을 계산하여 수위급강하에 따른 제체의 시간 의존적 거동을 연구하고 제방의 취약도 곡선을 작성하였다.

2. 제체의 안정해석

본 연구에서는 유한요소 해석에 의한 침투해석 결과를 연동하여 한계평형법에 의하여 사면안정 해석을 수행할 수 있는 Rocscience(2022)의 Slide2를 이용하여 수위급강하에 따른 제방 사면의 취약도 곡선을 작성하였다. Slide2는 다른 사면안정 해석 도구와 비교하여 확률론적 사면안정 해석기능이 뛰어난 상업용 해석 프로그램이다.

2.1 2차원 침투해석

흙의 간극을 통한 흐름이 층류이면 지반의 임의 점에서의 유속 v와 동수경사 i 사이에는 다음과 같이 Darcy의 법칙이 성립한다.

여기서, k는 투수계수(m/sec)이다.

유체를 비압축성으로 가정하면 지반을 통한 2차원 비정상류 흐름(transient flow)은 연속방정식과 Darcy의 법칙으로부터 다음과 같은 미분방정식으로 표현된다.

여기서, H는 전수두, k_x, k_y는 x와 y 방향의 투수계수, Q는 작용하는 유량, γ_w는 물의 단위중량, m_w는 저류용량(specific moisture capacity)이다.

본 연구에서는 유한요소법을 이용하여 2차원 비정상류 해석을 수행함으로써 제체의 간극수압 분포를 구하여 사면안정 해석에 사용하였다.

2.2 사면안정 해석

사면안정 해석은 활동면을 따라 파괴가 일어나려는 순간에 토체의 평형조건으로부터 안정성을 해석하는 한계평형법으로부터 안전율을 계산한다. 안전율은 주어진 활동면에 대한 흙의 전단강도를 유발된 전단응력으로 나눈 값으로 대상 사면은 허용 안전율 이상이어야 안전한 것으로 판정된다. 한계평형법에 의한 사면안정 해석은 최소 안전율을 주는 임계활동면을 결정하기 위한 반복적인 계산을 필요로 하며 임계활동면의 탐색을 위한 다양한 방법들이 사용되고 있다. 본 연구에서는 전체 힘과 모멘트평형을 만족하는 Spencer 방법을 적용하여 사면안정 해석을 수행하였다. Spence 방법은 원호파괴면과 비원호파괴면의 적용이 모두 가능하다.

2.3 MCS에 의한 확률론적 해석

MCS는 물성값의 변동성이 커 비선형성이 강한 지반의 확률론적 문제에 대한 정확한 해를 얻을 수 있어 널리 사용된다. MCS는 지반의 특성을 나타내는 통계적 정보로부터 일련의 랜덤변수를 생플링하고 각각의 샘플링된 랜덤변수에 대하여 해석을 수행함으로써 제방 사면의 거동을 계산하게 된다. 이러한 과정을 여러 번 반복하면 사면의 파괴확률을 구할 수 있다. MCS는 파괴확률 이외에도 안전율에 대한 평균, 표준편차, 확률분포 등의 정보를 평가할 수 있으므로 제방에 대한 많은 정보를 제공해준다. MCS에서 랜덤변수의 샘플링은 LHS(Latin Hypercube Sampling) 기법을 적용하였다. LHS 기법은 계층화 랜덤(stratified-random) 샘플링 기법으로 보다 작은 수의 샘플링으로 확률분포의 넓은 영역을 망라할 수 있는 효율적인 샘플링 기법이다(Cho, 2007).

MCS에서 랜덤변수와 파괴확률의 수렴을 보장하고 충분한 정확도를 확보하기 위해서는 매우 큰 시행횟수를 적용해야 하므로 많은 비용과 시간이 소모된다. MCS의 시행횟수를 줄여 효율적인 해석을 수행하기 위하여 다양한 방법들이 사용되고 있다. 파괴확률에 비해 빨리 수렴하는 안전율의 평균과 표준편차를 구하여 안전율의 확률분포를 정의하고 확률분포로부터 안전율이 1보다 작은 (즉, F_s < 1) 확률을 직접 계산하여 파괴확률을 구하거나 소수의 샘플링에 대한 해석으로부터 안전율의 응답면을 구성하고 응답면으로부터 샘플링된 랜덤변수들에 대한 안전율을 계산하여 MCS를 수행하는 방법 등이 적용될 수 있다.

2.4 추계론적 응답면 기법(Stochastic Response Surface Method)

Slide2는 효율적으로 확률론적 해석을 수행할 수 있도록 사면안정 해석의 결과인 안전율에 대한 추계론적 응답면을 구성하여 MCS의 수행에 소요되는 과도한 시간을 단축할 수 있는 기능을 구현하고 있다. Polynomial Chaos Expansion은 독립적인 랜덤변수를 갖는 확률론적 시스템에 대해 효율적인 예측을 가능케 하는 이론으로, 랜덤변수의 종류에 따른 직교 다항식을 이용하여 시스템의 응답에 대한 근사식을 상정한 후 계산 가능한 함수로 확장하여 추후 예측에 활용하는 방법이다. 비탈면의 안전율에 대한 추계론적 응답면을 구성하기 위해서 다음과 같은 절차를 따른다.

1. 모든 랜덤 변수를 서로 독립인 표준 정규 확률 변수로 변환한다.

2. 안전율을 Polynomial Chaos Expansion 형태로 표현한다. Slide2에서는 식 (3)과 같이 3차 Hermite polynomial expansion이 사용된다.

여기서, F_s는 응답면의 출력인 안전율, a_i1,…,in는 결정되어야 할 계수, n은 사면안정 해석에 사용되는 랜덤변수의 수, U=(U₁, U₂, …, U_lp)는 독립인 표준 정규 확률 변수 벡터, Γ_p=(U_i1, U_i2, …, U_in)는 차수 p의 Hermite polynomial이다.

3. 식 (3)의 다항식의 계수를 결정하기 위하여 적은 수의 사면안정 해석을 수행한다. 이때 필요한 사면안정 해석의 횟수는 고려되는 랜덤변수의 수 n에 따라 결정된다.

일단 응답면이 구성되면 MCS를 수행하기 위해 샘플링된 랜덤변수들에 대한 사면의 안전율은 사면안정 해석의 수행 없이 식 (3)의 응답면으로부터 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 MCS의 시행 횟수가 크더라도 매우 짧은 시간에 계산이 가능하다. 자세한 내용은 문헌(Isukapalli et al., 2000; Li et al., 2011)을 참고할 수 있다.

3. 취약도 곡선

취약도 곡선은 시설물 또는 구성 요소가 환경적인 자극을 나타내는 지표의 함수로 명확하게 정의되는 한계상태에 도달하거나 초과할 확률을 표현하는 관계로 정의될 수 있다(Porter, 2018). 제방의 취약도 곡선은 위험도 평가에서 다양한 수위 또는 하중 조건에서 제방이 붕괴될 확률을 평가하는데 사용된다. 취약도 곡선은 제체의 잠재적 손상에 대한 예측을 제공하며 제방의 총 위험도에 대한 정보를 제공하므로 재해 경감을 위한 비상사태 대비에 필수적인 재난 시 의사 결정 도구로 사용될 수 있다. 하천제방의 취약도 곡선을 작성하기 위해서는 확률론적 해석을 통하여 주어진 수위에 대한 파괴확률을 다양한 파괴모드에 대하여 구해야 하며, 이러한 과정을 수위를 변화시키며 반복적으로 수행해야 한다(Cho, 2022).

취약도 곡선은 일정 범위에 걸쳐 주어진 하중 조건에 대한 조건부 누적확률로 수위에 따른 구조물의 저항을 나타내지만, 특정 수위 발생의 확률이 고려되지는 않는다. 따라서 최종 파괴확률을 계산하기 위해서는 작성된 취약도 곡선을 수위에 대한 확률모델과 결합해야 한다(Vorogushyn et al., 2009).

4. 수위에 따른 제방 사면의 안정성 해석

4.1 지반물성과 해석조건

해석에 사용된 Fig. 1은 하상의 퇴적층 위에 축조된 일반적인 형태의 제방단면이며 수위 변동에 따른 사면의 거동을 명확하게 파악하기 위하여 단순한 형상을 사용하였다. 제방의 높이는 10m이며 비탈면의 기울기는 1:2.5이다. 침투해석 및 사면안정 해석을 위한 물성치는 낙동강 제방에 대한 문헌(Kim et al., 2014)을 참고하여 Table 1과 같이 사용하였다. 수위 변동에 따라 제체의 간극수압이 시간에 따라 변하므로 시간효과를 고려하는 침투해석을 수행해야 한다. 비정상류 침투해석을 수행하기 위해서는 지반의 함수특성곡선 및 투수계수함수가 필요하다. 제체에서 침윤선 상부에 존재하여 해석에 불포화 특성이 필요한 축조재료의 함수특성곡선과 투수계수함수는 축조재가 실트질 모래로 분류됨을 고려하여 Leong and Rahardjo(1997)에 주어진 물성치 중에서 통일분류법의 SM과 유사하도록 삼각좌표분류법에 의해 Sandy Loam에 분류되는 값들을 Fig. 2와 같이 사용하였다.

Fig. 1

Levee cross-section and geological configuration

Fig. 2

Unsaturated hydraulic properties of fill material

홍수 시 제방은 강우 침투 등의 영향으로 복잡한 시나리오에 따른 거동 특성을 나타내므로 본 연구에서는 하중 조건을 매우 단순화하여 해석을 수행하였다. 비정상류 침투해석을 위해서는 초기조건이 정의되어야 하며, 초기조건은 Fig. 1의 제외지 수위 H에 따른 정상상태의 해석을 수행하여 구하였다. 수위급강하 해석은 초기상태의 수위 H로부터 El. 10m까지 수위가 일정한 속도로 강하하는 동안에 제체의 침투거동을 해석하였다. 수위 하강 속도 V=0.1m/h, 0.2m/h, 0.4m/h를 적용하였다.

4.2 결정론적 해석

확률론적 해석을 수행하기 전에 수위 변동에 따른 제체의 거동을 파악하기 위하여 Table 1에 주어진 물성치의 평균값을 이용한 결정론적 해석을 수행하였다. Fig. 3은 수위가 18m일 때 정상상태 흐름에 대한 제내지 사면의 사면안정 해석의 결과를 나타낸 것이다. 수위를 바꾸면서 해석을 수행하면 Fig. 4와 같이 수위 변동에 따른 제내지 사면의 안전율 변화를 구할 수 있다. 수위가 제체의 상단인 20m에 도달하여도 제내지 사면의 안전율은 1 이상을 유지하고 있으며 원호파괴면과 비원호파괴면의 결과 차이는 크지 않았다. 본 연구에서는 원호파괴면을 적용하여 해석을 수행하였다.

Fig. 3

Results of stability analysis for landside slope under steady state seepage (H=18 m)

Fig. 4

Relationship between the safety factor of landside slope and water level under steady state seepage

Fig. 5는 초기 수위 H=18m에서 수위 하강 속도 V=0.2m/h를 적용했을 때의 시간에 따른 침투해석 및 사면안정 해석의 결과를 나타낸 것이다. 초기 정상상태에서 제외지 사면은 큰 안전율을 유지하고 있으나(Fig. 5(a)) 수위가 감소함에 따라 안전율이 급격하게 감소한다(Fig. 5(b), (c)). 이후 제체 내부에 남아있던 물이 배수되며 수위가 낮아짐에 따라 안전율이 회복된다(Fig. 5(d), (e)). 이때 주목할 사항은 수위 변동에 따라 제외지 사면에서 탐색된 최소 안전율이 계산되는 임계파괴면의 위치가 지속적으로 변하게 된다는 것이다.

Fig. 5

Results of deterministic stability analysis for landside slope under rapid drawdown (H=18 m, V=0.2 m/h)

Fig. 6은 H=18m인 경우에 수위 하강 속도에 따른 사면안정 해석의 안전율을 시간에 따라 나타낸 것이다. 수위는 V=0.1m/h인 경우 80시간, V=0.2m/h인 경우 40시간, V=0.4m/h인 경우 20시간에 걸쳐 18m에서 10m로 하강하며 수위가 하강하는 동안에는 안전율이 급격하게 감소하지만 이후에는 안전율이 점차 회복되는 경향을 보인다. 이때 수위 하강 속도가 빠를수록 도달하는 최소 안전율이 작아지지만 최소 안전율에 도달하는 시점은 수위가 최저에 도달하는 시점과 일치하지 않으며 이보다 약간 빠른 시간에 가장 작은 안전율에 도달한다. 이러한 결과는 기존의 연구 결과(Siacara, 2020; Guardiani et al., 2022)와도 일치하는 경향이다.

Fig. 6

Variation of F_s with time for different drawdown rates (H=18 m, waterside slope)

Fig. 7은 V=0.2m/s에 대하여 하강 전의 수위 H가 달라질 경우에 안전율의 변화를 나타낸 것이다. H가 높을수록 당연히 최소 안전율이 발생하는 시간은 길어지고 최소 안전율도 작아지게 된다.

Fig. 7

Variation of F_s with time for different drawdown water levels (V=0.2 m/s, waterside slope)

4.3 확률론적 해석

수위 변동에 따른 제체 사면의 시간 의존적 확률론적 사면안정 해석을 수행하기 위하여 퇴적층과 축조재료의 점착력과 내부마찰각을 대수정규분포를 따르는 서로 독립적인 4개의 랜덤변수로 고려하였다. 지반물성의 변동성에 대한 문헌(Baecher and Christian, 2003)을 참고하여 점착력의 변동계수는 0.3, 내부마찰각의 변동계수는 0.1을 적용하였다. 지반의 단위중량은 변동성이 크지 않으므로 결정론적인 상수로 고려하였다. 현재 사용되고 있는 상업용 해석프로그램들은 침투해석의 수리학적 물성치의 변동성과 사면안정 해석의 전단강도정수의 변동성과 동시에 고려할 수 없으므로 수리학적 물성치의 변동성은 고려하지 않았다. Guardiani et al.(2022)에 의하면 수리학적 물성치가 제방 사면의 파괴확률에 미치는 영향은 매우 작은 것으로 보고되었다.

수위급강하에 따른 시간 의존적 확률론적 사면안정 해석을 수행하기 위하여 수위 변동에 따른 침투해석을 수행하여 시간에 따른 제체 내부의 간극수압 분포를 구하고 각 시간 단계마다 한계평형법에 의한 MCS를 수행하였다. 이때 사면안정 해석에 적용되는 전단강도들은 Table 1에 주어진 정보를 활용하여 LHS를 활용하여 샘플링하였다. Fig. 8은 LHS에 의한 10,000개의 데이터로 수행한 MCS(H=18m, V=0.2m/h)의 결과를 나타낸 것으로 여러 시간 단계에서 안전율의 확률분포를 보여준다. 그림에서 주황색 부분은 안전율이 1보다 작은 영역을 나타내며 전체 면적에 대한 주황색 부분의 면적이 파괴확률이다.

Fig. 8

Results of MCS (LHS): probability density of the safety factor (waterside slope, H=18 m and V=0.2 m/h)

수위급강하에 따라 매시간 단계마다 10,000번의 사면안정 해석을 수행하기 위해 많은 시간이 소요되고 파괴확률이 매우 작은 시간 단계에서는 10,000번의 시행 횟수만으로는 수렴이 보장되는 파괴확률을 얻기가 어렵기 때문에 본 연구에서는 복잡한 시스템에서 응답에 대한 회귀모델을 구성하여 효율적인 해석단계를 통해 시간과 노력을 획기적으로 절감시킬 수 있는 응답면 기법(RSM, Response Surface Method)을 적용하여 여러 조건들에 대한 추가적인 해석을 수행하였다.

RSM은 4개의 랜덤변수에 대하여 샘플링된 70개의 전단강도 데이터에 대하여 사면안정 해석을 수행함으로써 응답면을 구성하고 구성된 응답면을 활용하여 수위 강하의 시간 단계마다 1,000,000회의 MCS를 수행하였다. Fig. 9는 H=18m일 때 RSM 기반의 MCS 수행 결과로부터 시간에 따른 제외지 사면의 파괴확률을 구한여 도시한 것으로 안전율로 표시된 결정론적 해석의 Fig. 6에 대응하는 결과이다. 수위 하강 속도가 빠를수록 더 큰 최대 파괴확률이 발생하였고 최대 파괴확률의 도달 시간도 빨랐다. Fig. 6에서와 마찬가지로 최대 파괴확률이 발생하는 시간은 수위가 최저에 도달하는 시점보다 약간 빠르며 Fig. 6에서 최소 안전율에 도달하는 시간과 일치하였다. Siacara et al.(2020)은 암반 기초에 놓인 흙댐에 대한 FORM에 의한 수위급강하 해석으로부터 최소 안전율에 도달하는 시간이 최대 파괴확률이 발생하는 시간과 일치하지 않고 더 빠르다고 보고하였으나 본 연구에서는 그러한 현상은 발생하지 않았다.

Fig. 9

Variation of P_f with time for different drawdown rates (H=18 m, waterside slope, RSM-based MCS)

Fig. 10은 V=0.2m/s에 대하여 하강 전의 수위 H에 따른 파괴확률 P_f의 시간 이력을 나타낸 것이다. H가 높을수록 당연히 최대 파괴확률 P_fmax가 발생하는 시간은 길어지고 P_fmax의 값은 커지게 된다. H가 14m일 때의 P_fmax는 작은 값을 갖지만 H가 16, 18m로 증가함에 따라 P_fmax가 급격하게 증가함을 알 수 있다.

Fig. 10

Variation of P_f with time for different drawdown water levels (V=0.2 m/s, waterside slope, RSM)

Fig. 11은 H=18m이고 V=0.2m/s인 경우에 대하여 시간 단계별로 LHS 기반의 MCS와 RSM 기반의 MCS를 수행하고 이로부터 계산된 안전율들의 평균, 표준편차, 변동계수 COV(Coefficient of Variation)를 계산하여 도시한 것이다. 두 방법에 의해 평가된 안전율들의 평균, 표준편차, 변동계수가 매우 유사하게 평가되므로 많은 계산량과 시간이 소요되는 LHS 기반의 MCS 대신에 RSM 기반의 MCS를 수위급강하 해석에 매우 효율적으로 사용할 수 있음을 알 수 있다. Fig. 11(c)에서 수위가 급강하하는 동안에 안전율의 변동계수가 크게 증가하고, P_fmax에 도달하는 시점에 변동계수는 가장 큰 값을 나타낸다.

Fig. 11

Variation in the estimated mean, standard deviation, and COV of the safety factor with time for different drawdown rates (H=18 m, V=0.2 m/s)

Fig. 12는 H=18m이고 V=0.2m/s인 경우에 대하여 LHS 기반의 MCS와 RSM 기반의 MCS를 수행하여 계산한 파괴확률의 시간 이력을 비교한 것으로 두 방법에 의한 값이 겹쳐서 도시되고 있음을 알 수 있다. Fig. 1에서 LHS 기반의 MCS와 RSM 기반의 MCS는 매회 샘플링된 지반변수에 따라 변하는 임계 파괴면이 고려된다. 반면에 MCS-Global minimum은 MCS를 수행할 때 결정론적 해석에서 탐색된 파괴면을 고정한 상태에서 샘플링된 지반변수에 대하여 시행 횟수만큼 안전율만 계산하므로 계산시간은 빠르지만 임계파괴면을 탐색하는 과정이 생략되므로 Fig. 12에서와 같이 다른 방법들에 비해 항상 작은 파괴확률을 나타낸다.

Fig. 12

Variation of P_f with time for different methods (waterside slope, H=18 m, and V=0.2 m/s)

4.4 취약도 곡선의 작성

수위급강하에 의한 제외지 사면의 파괴확률을 수위 H에 따라 계산하면 수위 H와 사면의 파괴확률과의 관계를 나타내는 취약도 곡선을 작성할 수 있다. Fig. 13은 H를 1m 간격으로 변화시키면서 4.3절에서 수행한 수위급강하에 의한 시간 의존적 확률론적 해석을 수행하여 가장 큰 파괴확률 P_fmax를 구해서 작성한 것이다.

Fig. 13에서 수위급강하에 의한 사면의 파괴확률은 특정 수위까지는 매우 작은 값을 유지하지만 그 이상에서는 수위가 증가함에 따라 급격하게 증가하는 현상을 보인다. 또한 취약도 곡선은 수위 하강 속도에 크게 영향을 받고 있음을 알 수 있다. 수위 저하 속도는 수문 시나리오에 대한 수위의 변동해석을 통하여 결정되므로 수위급강하에 따른 제방 제외지 사면의 안정성은 기후변화에 따라 크게 영향을 받을 것으로 판단된다.

Fig. 13

Fragility curves for slope stability with respect to varying drawdown rate

Fig. 14는 LHS에 의해 샘플링된 퇴적층의 점착력과 이로부터 MCS를 수행하여 구한 수위급강하 이후 35시간 후의 안전율과의 상관관계를 파악하기 위하여 그린 산포도를 나타낸다. 그림에서 붉은 부분은 안전율이 1보다 작은 영역을 나타내며 직선은 추세선을 나타낸다. 퇴적층의 점착력과 안전율의 상관관계는 상관계수를 계산하여 판단할 수 있으며 0.75의 높은 상관관계를 나타냈다.

Fig. 14

Scatter plot between factor of safety and cohesion of sedimentary layer (correlation coefficient=0.746546, t= 35 hours, H=18 m, and V=0.2 m/s, LHS)

Fig. 15는 LHS로부터 샘플링된 퇴적층 및 축조재료의 전단강도 정수들과 안전율과의 상관계수를 계산하여 수위급강하가 진행되는 시간에 따라 나타낸 그래프이다. 수위가 0.2m/s의 속도로 18m에서 10m까지 하강하는 동안에는 퇴적층과 축조재료의 점착력이 안전율에 큰 영향을 미치고 있으나 이후에는 퇴적층의 내부마찰각의 상관계수가 증가하여 가장 큰 영향을 미치게 됨을 알 수 있다. 이러한 현상은 Fig. 5에서 살펴본 바와 같이 수위 하강에 따라 제체의 주요 파괴면의 위치가 변동하면서 발생하는 현상으로 판단된다. 수위 강하 시 최대 파괴확률이 얻어지는 시간에서는 퇴적층의 점착력 > 축조재료의 점착력 > 퇴적층의 내부마찰각 > 축조재의 내부마찰각의 순으로 안전율과의 상관계수 값이 변화하였다. 따라서, 이와 같은 순서로 취약도 함수에 미치는 영향이 나타날 것으로 추측할 수 있다.

Fig. 15

Correlation coefficients betweens F_s and shear strength parameters with time (H=18 m, V=0.2 m/h, LHS)

Fig. 16은 퇴적층 및 축조재료의 전단강도 정수들이 수위 하강 시 제방 사면의 취약도 곡선에 미치는 영향을 살펴보기 위하여 다른 조건은 고정한 채로 각각의 전단강도 정수의 변동계수를 변화시키면서 해석을 수행하여 취약도 곡선을 작성한 것이다. 이때 전단강도 정수의 평균값은 고정한 상태에서 변동계수에 따른 표준편차를 적용하여 수위 하강에 따른 시간 의존적 확률론적 해석을 수행하였다. Fig. 15에서 추측한 바와 같이 퇴적층의 점착력이 큰 영향을 나타내고 축조재의 내부마찰각은 크게 영향을 미치지 않는 것을 알 수 있다. 작성된 취약도 곡선을 통하여 수위에 따른 수위급강하 시의 제방 사면의 파괴 가능성을 효율적으로 파악할 수 있다.

Fig. 16

Fragility curves for slope stability with respect to varying COV of strength parameters (V=0.2 m/h)

5. 결 론

기후변화로 인하여 전 세계적으로 홍수의 강도와 발생빈도가 증가하고 있다. 극한홍수에 대응하기 위한 홍수 위험도 관리의 필수 요소인 홍수 위험도 평가를 위해서는 댐 및 하천제방과 같은 홍수방어시설의 여러 파괴 메커니즘에 대한 신뢰도 해석이 필요하다. 본 연구에서는 수위급강하에 의한 제체 사면의 시간에 따른 확률론적 안정성 평가에 대하여 연구하였다. 유한요소 해석에 의한 침투해석 결과를 사면안정 해석에 연동하여 MCS를 수행함으로써 수위급강하에 따른 제체의 시간에 따른 거동을 연구하고 파괴확률을 계산하여 제방의 취약도 곡선을 작성하였다. 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

(1) 사면안정 해석의 응답인 안전율에 대한 응답면을 구성하여 시간과 노력을 획기적으로 절감할 수 있는 추계론적 응답면 기법을 적용하고 LHS 기반의 MCS의 결과와 비교하여 수위 변동에 따른 LHS 기반의 MCS 대신에 RSM 기반의 MCS를 수위급강하 해석에 매우 효율적으로 사용할 수 있음을 확인하였다.

(2) 수위 하강 속도가 빠를수록 더 큰 최대 파괴확률이 발생하였고 최대 파괴확률의 도달 시간도 빨랐다. 이때 수위급강하 동안에 사면의 최대 파괴확률이 발생하는 시간은 수위가 최저에 도달하는 시점보다 약간 빠르며 결정론적 해석에 의한 최소 안전율에 도달하는 시간과 대체로 일치하였다. 또한 하강 전의 수위 H가 높을수록 최대 파괴확률이 발생하는 시간은 길어지고 최대 파괴확률의 값은 커졌다.

(3) 수위급강하에 의한 사면의 파괴확률은 특정 수위까지는 매우 작은 값을 유지하지만, 그 이상에서는 수위가 증가함에 따라 급격하게 증가하였다. 또한 취약도 곡선은 수위 하강 속도에 크게 영향을 받았다. 수위 저하 속도는 수문 시나리오에 의한 수위의 변동해석을 통하여 결정되므로 수위급강하에 따른 제방 제외지 사면의 안정성은 기후변화에 따라 크게 영향을 받을 것으로 판단된다.