1. 서 론

제방은 하천의 흐름을 유지하고 물의 범람을 방지하여 제내지가 침수로 인한 피해를 입지 않도록 하는 지반 구조물로, 주로 흙을 이용해 건설된다. 따라서, 제방은 홍수로 인한 재해를 방지할 수 있도록 충분한 안전성을 확보해야 하며, 이를 평가하는 것은 홍수 위험도 분석의 핵심 요소이다.

하천에 설치된 제방은 겉보기에 단순해 보일 수 있으나, 홍수 시 안정성은 지반의 수리학적, 역학적 특성과 밀접하게 관련되어 있어 거동해석이 예상보다 복잡할 수 있다. 일반적으로 제방은 충적층 기초 위에 지역에서 구할 수 있는 재료를 이용해 축조되므로, 그 거동에는 자연 재료의 고유한 변동성이 반영된다. 또한, 다른 기반시설과 달리 제방은 건설 과정과 재료의 특성상 불규칙성이 크며, 유지·관리 상태에 따라 시간이 지나면서 성능이 크게 저하될 수 있다(López Acosta et al., 2019).

그동안 제방의 위험성 평가는 지반공학적 신뢰도 분석은 포함하지 않은 상태에서 수문학적 위험도 분석이 주로 수행되어 왔다. 그러나 하천 제방의 붕괴 원인은 수리·수문학적 요인뿐만 아니라 침투로 인한 내적침식 및 사면 불안정과 같은 지반공학적 요인도 포함되므로, 이러한 요인을 종합적으로 고려한 확률론적 안정성 평가가 필요하다(Ahn, 2009; Nam et al., 2017; Cho, 2022).

지금까지 제방에 대한 지반공학적 분석은 주로 결정론적 접근 방식을 사용해왔다. 그러나 결정론적 해석법은 홍수 시 제방의 안정성과 관련된 지반의 수리학적, 역학적 특성에 내포된 불확실성을 충분히 방영하지 못하는 한계를 가진다. 이를 보완하기 위해 확률론적 방법에 기반하여 제방의 파괴 메커니즘을 분석하는 다양한 연구가 수행되었다(e.g., Fenton and Griffiths, 1997; Cho, 2007; Sharafati et al., 2020; Cho, 2022).

제방 거동의 복잡성은 다양한 하중이 파괴확률에 미치는 영향을 명확히 분석할 수 있는 방법을 필요로 하며, 취약도 곡선은 이러한 방법을 제공하여 제방 거동을 이해하는 데 중요한 역할을 한다(Vorogushyn et al., 2009; Rice and Polanco, 2012; Rossi et al., 2021; Cho, 2022; Cho, 2023). 하천 제방의 취약도 곡선을 작성하려면 확률론적 해석을 통해 주어진 수위에서 다양한 파괴모드에 대한 파괴확률을 계산해야 한다. 이를 위해 제체 및 기초 지반의 침투 특성과 역학적 특성의 불확실성을 반영한 확률론적 해석이 필수적이다. 그러나 현재 제방 해석에 널리 사용되는 상업용 해석 프로그램들은 주로 확률론적 사면안정 해석 기능만을 제공하며, 침투해석에 대한 확률론적 해석기법은 포함하고 있지 않다. 이에 따라, 수리학적 물성치가 제방 거동에 미치는 영향을 상대적으로 작다고 가정하고(Guardiani et al., 2022; Cho, 2022), 결정론적 침투해석을 수행한 후, 얻어진 간극수압 분포를 이용하여 전단강도 정수의 변동성만을 고려한 확률론적 사면안정 해석을 수행하는 것이 일반적인 접근 방식이다.

불포화 거동을 포함한 흙의 수리학적 특성의 불확실성이 제방 거동에 미치는 영향에 관한 연구는 아직 부족한 실정이다. 기존 연구들(e.g., López Acosta et al., 2019; Guardiani et al., 2022; Siacara et al., 2020; Siacara et al., 2022; Mainguenaud, 2023)은 침투에 의하여 제방 및 흙댐 사면의 안전율이 어떻게 영향을 받는지만을 다루고 침투에 의한 파이핑 파괴와 관련된 동수경사의 변동은 다루지 않지만 제방의 파괴는 상당 부분 파이핑에 의하여 발생한다(Vorogushyn et al., 2009). 또한, 제방 및 흙댐의 확률론적 해석을 수행할 때 함수특성곡선을 나타내는 변수 간의 상관성을 고려하지 않지만(López Acosta et al., 2019; Guardiani et al., 2022; Siacara et al., 2020; Siacara et al., 2022; Mainguenaud, 2023), 실제로 이들 변수는 통계적으로 서로 독립적이지 않다. 따라서, 지반의 수리학적 및 역학적 물성치의 변동성을 고려한 확률론적 해석을 수행하여 이러한 변수들의 변동성이 제방의 침투 및 사면안정 거동에 미치는 영향을 연구할 필요가 있다.

제방은 다양한 파괴모드에 의해 파괴될 수 있으며, 그중 가장 흔한 파괴모드는 월류, 내적 침식, 그리고 사면 불안정으로 알려져 있다. 본 연구에서는 이들 중 지반공학적 측면과 밀접한 관련이 있는 내적 침식과 사면안정 문제를 중점적으로 고려하였다.

2. 하천 제방의 안정해석

본 연구에서는 유한요소법에 의한 침투해석과 한계평형법에 의한 사면안정 해석을 연계하여 수행할 수 있는 GeoStudio(2012)를 이용하여 수위에 따른 제방의 확률론적 침투 및 사면안정 거동을 연구하였다.

2.1 2차원 침투해석

불포화 지층에서도 흙의 포화 흐름과 마찬가지로 Darcy의 법칙이 적용된다(Richards, 1931). 흐름이 층류일 경우, 지반의 임의 지점에서 유속 v와 동수경사 i는 다음과 같은 관계를 갖는다.

여기서, k(m/sec)는 투수계수이다.

흙을 통한 2차원 정상상태 흐름(steady state flow)은 다음과 같이 미분방정식으로 표현된다.

여기서, H(m)는 전수두, kx와 ky는 x와 y방향의 투수계수, Q(m/sec)는 작용하는 경계유량(boundary flux)이다.

일반화된 Darcy의 법칙(식 (1))에서 불포화 상태의 투수계수 k는 모관흡수력 또는 포화도에 따라 변한다. 이를 설명하기 위한 투수계수 함수로 다양한 모델이 제안되었으며, 본 연구에서는 유효포화도 Se로 표현되는 van Genuchten-Mualem 모델(Mualem, 1976; van Genuchten, 1980)을 적용하였다.

여기서, m=1-1/n, n>1, ψ(kPa)는 모관흡수력, θ(무차원)는 모관흡수력 ψ의 함수인 체적함수비, θr(무차원)은 잔류체적함수비, θs(무차원)는 포화체적함수비, m(무차원), n(무차원), α(kPa-1)는 변수이며, ks(m/sec)는 흙의 포화투수계수(saturated hydraulic conductivity)이다.

식 (2)를 풀기 위하여 유한요소법에 의한 2차원 정상상태 흐름해석을 수행하면 제방의 간극수압 분포를 구할 수 있고 이 분포는 사면안정 해석에 입력으로 사용된다.

2.2 사면안정 해석

한계평형법에 의한 사면안정 해석은 파괴가 발생하려는 순간에 활동 토체의 평형조건을 기반으로 안전율을 계산한다. 안전율은 주어진 활동면에서의 흙의 전단강도를 유발된 전단응력으로 나눈 값이며, 대상 사면이 허용 안전율 이상일 경우 안정한 것으로 판단된다. 한계평형법을 적용한 사면안정 해석은 최소 안전율을 갖는 임계활동면을 결정하기 위해 반복적인 계산이 필요하며, 이를 위한 다양한 탐색 방법이 사용된다. 본 연구에서는 원호파괴면을 가정하는 Bishop 방법을 적용하여 사면안정 해석을 수행하였다.

기존 연구에 따르면 포화-불포화 영역의 전단강도를 표현하기 위해 모관흡수력을 고려하여 Mohr-Coulomb 파괴 기준을 확장할 수 있다(Fredlund et al., 1978). 그러나 제방의 사면안정 해석에서는 보수적인 접근법을 적용하여 모관흡수력에 의한 전단강도를 고려하지 않는 것이 일반적이므로 본 연구에서는 불포화 전단강도를 고려하지 않았다.

2.3 Monte Carlo Simulation

확률론적 해석을 활용하면 지반 물성치(흙의 수리학적, 역학적 특성값)의 불확실성이 해석 결과에 미치는 영향을 평가할 수 있다. 지반공학 분야에서는 PEM, FOSM, FORM 등의 근사 해석기법이 적용되어 왔다. 이러한 방법들은 지반 물성의 변동성을 고려하면서도 계산이 간편하여 사면의 신뢰도 해석 및 위험도 평가에 유용한 결과를 제공하므로, MCS(Monte Carlo Simulation)와 같은 보다 정확하고 포괄적인 방법의 대안으로 활용된다. 이는 MCS를 유한요소법이나 한계평형법에 적용하는 과정이 복잡하고 계산 시간이 많이 소요되기 때문이다.

MCS는 난수를 이용해 확률적 문제를 해결하는 기법으로, 복잡한 시스템의 동작을 분석하거나 예측하기 위해 다양한 분야에서 사용된다. MCS는 지반의 물성 변동성이 크고 비선형성이 강한 확률론적 문제를 다룰 때 가장 정확한 해를 제공하는 방법이다. 지반의 특성에 대한 통계적 정보를 이용하여 랜덤변수를 샘플링하고, 각 샘플에 대해 반복적인 해석을 수행함으로써 제방의 거동을 평가한다. 충분한 반복 과정을 거치면 제방의 파괴 확률을 정량적으로 분석할 수 있으며, 이외에도 제방의 평균 거동, 표준편차, 확률분포 등의 통계적 정보를 도출할 수 있어 다양한 해석이 가능하다.

MCS에서 샘플링은 랜덤 샘플링 기법이나 LHS(Latin Hypercube Sampling)에 의해 수행된다. 랜덤 샘플링 기법은 샘플이 충분히 많은 경우에 쉽게 적용할 수 있으나 모델의 평가에 많은 시간과 비용이 소요된다. LHS는 누적 확률분포를 동등한 간격으로 나누고 각 간격에서 확률변수를 무작위 추출하는 계층화 랜덤(stratified-random) 샘플링 기법이다. 따라서 비교적 적은 샘플링 수로도 넓은 확률분포 영역을 효과적으로 반영할 수 있는 효율적인 방법이다(Cho, 2007).

본 연구에서는 MCS에서 랜덤변수의 샘플링 기법으로 LHS(Latin Hypercube Sampling)를 적용하였다.

3. 확률론적 해석 절차

수리학적, 역학적 물성치를 랜덤변수로 설정하는 확률론적 해석을 수행하기 위해 GeoStudio(2012)의 침투해석 모듈인 SEEP/W와 사면안정 해석 모듈인 SLOPE/W를 직접 연계하여 반복적으로 적용하는 방법(Siacara et al., 2020; Guardiani et al., 2022; Siacara et al., 2022)을 다음과 같이 적용하였다(Fig. 1).

Fig. 1

Flowchart for the probabilistic analysis of levee

1) 대상 제방에 대한 결정론적 GeoStudio 해석모델을 구성한다. 해석파일은 지정된 수위 경계조건에 대한 침투모델과 이와 연계하여 제방의 사면안정에 대한 안전율을 계산하는 사면안정 해석모델을 하위 모델로 포함한다. 침투해석을 위한 지반의 수리학적 특성은 θs, θr, α, n, ks에 의해 정의되며 사면안정을 위한 지반의 역학적 특성은 c, ϕ, γ에 의해 표현된다. GeoStudio 해석파일은 *.gsz의 확장명을 갖는 압축파일 형태를 취하고 있으며 압축해제 프로그램을 이용하여 압축파일을 풀면 입력정보를 포함한 입력파일 *.xml과 침투해석, 사면안정 해석의 하위 폴더를 확인할 수 있다. 침투해석, 사면안정의 하위 폴더에는 각각의 해석 결과가 *.csv파일에 저장된다.

2) 확률론적 해석을 위하여 결정론적 해석에 필요한 변수 중에서 랜덤변수로 설정할 변수들을 결정하고 이들에 대한 평균, 표준편차, 확률분포 등의 통계적 정보(statistical information)를 수집한다. 본 연구에서는 변수의 변동성을 고려하여 지반의 수리학적 특성인 θs, α, n, ks와 역학적 특성인 c, ϕ를 랜덤변수로 결정하였으며 변동성이 작은 그 밖의 변수들은 상수값을 사용하였다. MCS를 수행하기 위해 랜덤변수의 통계적 정보를 이용하여 nMCS 세트의 랜덤변수 샘플을 생성한다. 본 연구에서는 랜덤변수의 샘플링을 위하여 LHS 기법을 적용하였다.

3) 확률론적 해석에는 통계적 정보로부터 샘플링된 nMCS 세트의 랜덤변수들에 대하여 결정론적 해석을 반복하는 MCS를 적용한다. MCS를 통하여 제방의 유출동수경사 및 사면의 안전율에 대한 평균, 표준편차, 확률분포 등의 정보를 얻을 수 있으므로 제방의 확률론적 거동을 평가할 수 있다. 결정론적 해석을 반복하기 위해서는 단계 1)에서 언급된 입력파일인 *.xml 파일을 수정하여 랜덤변수에 해당하는 부분을 매번 샘플링된 값들로 교체해야 한다. 입력파일의 수정 후 압축 프로그램을 이용하여 하위 폴더를 포함한 파일들을 *.zip 포맷으로 압축하고 확장자를 *.gsz로 변경하여 해석을 위한 준비를 마친다. 반복적인 GeoStudio 해석파일의 실행을 위해서 명령 프롬프트(Command Prompt) 환경에서 GeoStudio의 ‘GeoCmd.exe’ 명령어를 사용한다. 매회의 해석이 완료되면 침투해석, 사면안정의 하위 폴더에 저장된 *.csv파일을 읽어 동수경사, 안전율 등의 결과를 별도의 파일에 기록한다.

4) MCS 수행을 위해 GeoStudio 파일을 읽고 수정한 후 압축하는 등의 일련의 연속적인 과정을 반복적으로 수행하기 위해서는 별도의 프로그램이 필요하며 본 연구에서는 FORTRAN 프로그램을 작성하여 사용하였다.

4. 수위에 따른 제방의 확률론적 거동해석

4.1 지반물성과 해석조건

Fig. 2는 하상의 퇴적 기초층 위에 축조된 전형적인 제방 단면을 나타낸다. 해당 제방의 높이는 6m이며, 비탈면의 기울기는 1:2.0이다. 침투해석 및 사면안정 해석에 사용된 물성값은 낙동강 제방에 대한 문헌(Kim et al., 2014)을 참고하여 Table 1에 정리된 값을 사용하였다. 침투해석에 사용된 수리학적 특성(ks, θs, α, n)과 사면안정 해석에 사용된 전단강도 정수(c, ϕ)는 불확실성을 고려하기 위하여 대수정규분포(LN, Lognormal distribution)를 따르는 랜덤변수로 설정하였다. 반면, 흙의 단위중량은 변동성이 크지 않은 것으로 알려져 있어 랜덤변수로 고려하지 않았다.

Fig. 2

Levee cross-section and geological configuration for seepage and slope stability analysis

수위 변동에 따라 결정되는 제체 내부의 침윤선 위치 및 간극수압을 구하기 위해서는 침투해석에 지반의 함수특성곡선 및 투수계수함수가 필요하다. 침윤선 상부에 존재하는 축조 재료(embankment)는 불포화 특성이 요구되므로, 통일분류법의 SM(Silty Sand)과 유사하도록 함수특성곡선과 투수계수함수를 선택하였다.

확률론적 해석을 위해서는 불포화 지반 변수의 확률론적 특성을 파악하는 것이 필요하다. 해석에 사용된 매개변수의 통계 정보는 이전 연구(Phoon et al., 2010; Jeon et al., 2012)의 사질토 데이터를 바탕으로 결정하였다. 모래질 흙에서 잔류체적함수비는 0에 가깝고 변동성이 매우 작으므로 θr은 상수인 0으로 고정하였다(Phoon et al., 2010). 변수 n은 1.0 보다 큰 값을 가져야 하므로 1.0 보다 작은 값이 샘플링되지 않도록 이동 대수정규분포(shifted lognormal distribution)를 적용하였다.

MCS를 수행하기 위한 랜덤변수의 샘플링을 위해서는 랜덤변수들 사이의 상관관계가 정의되어야 한다. Table 2에 제시된 랜덤변수들 사이의 상관계수는 흙의 수리적 매개변수의 통계해석에 관한 이전 연구를 참고하여 제방의 축조 재료인 사질토 데이터를 바탕으로 결정하였다(Carsel and Parrish, 1988; Phoon et al., 2010). 공기함입치(air-entry value)와 관련된 변수 α는 함수특성곡선의 변곡점에서의 기울기와 관련된 변수 n과 강한 음의 상관성을 갖는다. 물리적으로 음의 상관관계는 n이 클 때 α가 작다는 것을 의미하며, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. Phoon et al.(2010)에 따르면, 함수 특성 곡선의 매개변수 간 통계적 독립성을 가정할 경우, 사질토 지반에서 비정형적인 함수특성곡선이 예측될 가능성이 높아진다. 따라서 확률 모델에서 적절한 음의 상관관계를 적용해야만 시뮬레이션 과정에서 비현실적인 함수특성곡선이 생성되는 것을 방지할 수 있다. 수리학적 변수들과 전단강도 정수들 사이에는 상관관계가 없는 것으로 적용하였다.

4.2 결정론적 해석

확률론적 해석을 수행하기에 앞서, 수위 변화에 따른 제체의 침투 및 사면안정 거동을 파악하기 위해 Table 1에 제시된 물성치의 평균값을 사용한 결정론적 해석을 수행하였다. Fig. 3은 수위 변화에 따른 정상상태 침투흐름 및 이에 대한 제내지 사면의 안정해석 결과를 나타낸다. 제체의 투수계수가 퇴적 기초층의 투수계수보다 작기 때문에 제체 선단 인접부에서 침투수의 유출이 집중되며, 이로 인해 해당 위치에서 발생하는 연직 동수경사(유출동수경사, ie)가 제방의 침투 안정성에 중요한 영향을 미친다. 수위가 증가할수록 사면 안전율은 감소하지만, 수위가 제체 상단에 도달하더라도 제내지 사면의 안전율은 1 이상을 유지하는 것으로 나타났다.

Fig. 3

Results of deterministic stability analysis for landside slope under steady state seepage

4.3 확률론적 해석

수위 변동에 따른 제방의 확률론적 침투 및 사면안정 해석을 수행하기 위해, 기초 퇴적층과 축조 재료의 수리학적 및 역학적 특성을 포함한 총 9개 변수를 랜덤변수로 설정하였다. 확률론적 해석은 개별 수위에 따른 정상상태 침투해석을 통해 제방 내부의 간극수압 분포를 산정한 후, 이를 기반으로 한계평형법을 이용하여 제내지 사면의 안전율을 구하는 MCS를 수행하는 방식으로 진행되었다. MCS에 적용된 물성치는 Table 1과 Table 2의 정보를 바탕으로 10,000개의 샘플을 생성하여 사용하였다.

Fig. 4는 수위(H)가 11m일 때, 수행한 MCS 결과를 나타낸다. 제방의 유출부에서의 동수경사(ie) 및 제내지 사면 안전율의 평균과 표준편차를 보여주며, 10,000번의 반복 실행을 통해 결과가 수렴됨을 확인할 수 있다. 이를 통해 제방의 확률적 거동을 신뢰성 있게 평가할 수 있음을 시사한다.

Fig. 4

Convergence of the estimated mean and standard deviation of the exit gradient and the safety factor of landside slope (H=11m)

Fig. 5는 MCS에 의해 구한 유출동수경사의 확률밀도 함수(Probability Density Function, PDF)와 누적 확률분포(Cumulative Distribution Function, CDF)를 나타내고 있다. 수위가 높아짐에 따라 유출동수경사가 커지므로 횡축의 유출동수경사 분포범위가 달라지며 확률분포의 형태도 수위 변동에 따라 변하고 있음을 알 수 있다. 수위가 낮을 때는 확률밀도함수가 점진적으로 감소하는 긴 우측 꼬리를 갖는 확률분포 형태, 즉 양의 왜도(skewness)를 갖지만 수위가 높아지면 왼쪽으로 긴 꼬리를 가지면서 음의 왜도를 갖는 반대의 경향을 보인다.

Fig. 5

Results of MCS: PDF and CDF of the exit gradient

Fig. 6은 MCS를 통해 산정된 사면 안전율의 확률밀도 함수와 누적 확률분포를 나타낸 것이다. 수위에 따른 확률분포의 형태는 전반적으로 유사하지만, 수위가 높아짐에 따라 제체 내부의 간극수압이 증가하면서 제내지 사면의 안전율이 감소하므로, 분포 범위가 변화하는 경향을 보인다.

Fig. 6

Results of MCS: PDF and CDF of the safety factor

Fig. 7은 MCS를 통해 평가된 유출동수경사와 사면 안전율의 평균, 변동계수(COV), 그리고 왜도를 수위에 따라 분석한 결과를 나타낸 것이다. 수위가 증가할수록 확률론적 해석을 통해 평가된 유출동수경사의 평균은 비례하여 증가하며(Fig. 7(a)), 반면 사면 안전율의 평균은 감소하는 경향을 보인다(Fig. 7(b)). 이때, 확률론적 해석으로 평가된 평균값은 랜덤변수의 평균값을 적용한 결정론적 해석 결과와 거의 일치하는 것으로 나타났다.

Fig. 7

Results of MCS: variation in the estimated mean, COV and skewness of exit gradient and safety factor with water level

수위에 따른 유출동수경사와 사면 안전율의 변동성을 비교하기 위해, 평균의 영향을 제거한 변동계수(COV)를 계산하여 Fig. 7(c), Fig. 7(d)에 나타내었다. 분석 결과, 수위가 증가할수록 유출동수경사의 변동계수는 점진적으로 감소하는 경향을 보였으나, 사면 안전율의 변동계수는 수위 변화에 따른 큰 차이를 나타내지 않았다. 낮은 수위에서는 유출동수경사의 변동성이 사면 안전율보다 컸지만, 높은 수위에서는 사면 안전율의 변동성이 더 크게 나타났다.

Fig. 7(e)와 Fig. 7(f)는 확률변수 분포의 비대칭성을 나타내는 왜도를 분석한 결과이다. 낮은 수위에서는 유출동수경사의 분포가 양의 왜도를 가지지만, 수위가 높아질수록 음의 왜도를 나타내어 확률분포의 형태가 크게 변화하는 것으로 나타났다(Fig. 7(e)). 이에 반해, 사면 안전율의 경우 수위 변화에 따른 왜도의 변화가 크지 않아, 확률분포 형태가 비교적 일정하게 유지됨을 확인할 수 있다.

Fig. 8은 수위별 MCS 결과를 바탕으로 각 랜덤변수와 유출동수경사 사이의 상관계수를 계산하여 나타낸 것이다. 그림에서 빨간 점선은 전단강도 정수의 결과를, 파란 실선은 수리학적 변수의 결과를 나타낸다. 전단강도 정수(점착력 c, 내부마찰각 ϕ)와 유출동수경사의 상관계수는 0에 가까워 상관관계가 거의 없음을 알 수 있다. 수리학적 변수 중에서는 제체 및 퇴적 기초층의 투수계수(ks1, ks2)가 가장 큰 상관관계를 보였다. 유출동수경사는 제체의 투수계수 ks1와 양의 상관계수를 가지지만, 기초층의 투수계수 ks2와는 음의 상관계수를 나타낸다. 즉, ks1가 증가하면 ie가 증가하고, ks2가 증가하면 ie가 감소하는 경향이 있음을 의미한다. 수위가 낮을 때는 ks1의 상관계수 절대값이 ks2보다 크지만, 수위가 높아지면 ks2의 상관계수 절대값이 더 커지는 경향을 보였다. 불포화 특성을 나타내는 변수(θs, α, n)는 유출동수경사와 n>θs>α의 순으로 양의 상관계수를 나타냈지만, 그 절대값이 작아 상관관계는 미약한 것으로 평가되었다.

Fig. 8

Results of MCS: correlation coefficient between random variables and exit gradient with water level

Fig. 9는 수위 H=11m일 때, MCS를 위해 샘플링된 ks1, ks2와 이에 대응하는 유출동수경사 ie를 색으로 표시한 산점도로, ks1, ks2, ie 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여준다.

Fig. 9

Relationship between sampled k_s1 and k_s2, and computed exit gradient (H=11m)

Fig. 10은 수위별 MCS 결과를 바탕으로 랜덤변수와 안전율 사이의 상관계수를 계산하여 나타낸 것이다. 빨간 점선은 전단강도 정수의 결과를 나타내며, 모든 전단강도 정수가 사면 안전율과 양의 상관관계를 보인다. 특히, 퇴적 기초층의 전단강도 정수(c2, ϕ2)가 제체의 전단강도 정수(c1, ϕ1)보다 더 큰 상관계수를 가지는 것으로 나타났다. 수리학적 변수 중 불포화 특성을 나타내는 변수(θs, α, n)는 사면 안전율과의 상관계수가 매우 작아, 유의미한 상관관계가 없는 것으로 평가되었다. 반면, 제체 및 퇴적 기초층의 투수계수(ks1, ks2)와 사면 안전율 사이의 상관계수는 수위가 높아질수록 증가하는 경향을 보였다. 이때, 사면 안전율은 제체의 투수계수(ks1)와 음의 상관관계, 기초층의 투수계수(ks2)와 양의 상관관계를 나타냈다. 즉, ks1가 증가하면 안전율이 감소하고, ks2가 증가하면 사면 안전율이 증가하는 경향을 보인다. 이러한 결과를 통해, 제방의 침투를 고려한 제방의 사면안정 거동을 확률론적으로 해석할 때에도, 제체 및 기초지반의 투수계수 변동성을 반드시 고려해야 하며, 이러한 필요성은 수위가 높아질수록 더욱 뚜렷해짐을 확인할 수 있다.

Fig. 10

Results of MCS: correlation coefficient between random variables and safety factor with water level

Fig. 11은 침투해석의 상관행렬도(correlation matrix)로, 대각선 요소는 MCS 수행을 위해 샘플링된 랜덤변수와 MCS로부터 구한 유출동수경사의 확률분포를 나타낸다. 대각선 이외의 요소는 랜덤변수와 유출동수경사 사이의 관계를 나타내는 산점도(scatter plot) 및 상관계수를 종합적으로 보여준다. 이 그림은 샘플링된 변수의 확률분포와 범위를 나타낼 뿐 아니라, 모든 변수 상호 간의 상관관계를 나타낸다. 전단강도 정수와 유출동수경사의 상관계수는 0을 나타내고 있으며, 수리학적 변수 중에서 제체의 투수계수(ks1)는 유출동수경사와 0.52의 상관계수를 나타내고 퇴적 기초층의 투수계수(ks2)는 -0.61의 가장 큰 상관계수를 나타낸다.

Fig. 11

Results of MCS: distribution of sampled random variables and calculated exit gradient, and correlation between these variables

Fig. 12는 같은 방식으로 랜덤변수들과 MCS로 평가된 사면 안전율 간의 관계를 나타낸 것이다. 퇴적 기초층의 전단강도 정수(c2, ϕ2)는 안전율과 (0.46, 0.66)의 상관계수를, 제체의 전단강도 정수(c1, ϕ1)는 (0.29, 0.26)의 상관계수를 나타낸다. 수리학적 변수 중 불포화 특성을 나타내는 변수(θs, α, n)는 사면 안전율과의 상관계수가 0에 가까운 값을 나타냈으나, 제체 및 퇴적 기초층의 투수계수(ks1, ks2)와 사면 안전율 사이의 상관계수는 (-0.26, 0.24)의 값을 보였다. 이러한 상관행렬도를 활용하면, 제방의 침투 및 사면 안정성에 대한 확률론적 거동을 종합적으로 분석할 수 있으며, 주요 변수 간의 상호작용을 직관적으로 파악할 수 있다.

Fig. 12

Results of MCS: distribution of sampled random variables and calculated safety factor, and correlation between these variables

본 연구에서는 제방의 기하학적 형상을 퇴적지반에 축조되는 전형적인 형태로 고정한 상태에서 물성치의 변동성을 고려하였다. 그러나 제방의 경사 및 높이에 따라 파이핑과 사면안정 거동이 달라질 수 있으므로, 향후 다양한 형태의 제방을 대상으로 한 추가 연구가 필요하다.

5. 결 론

하천 제방의 위험도를 평가하기 위해서는 주요 파괴모드에 대해 지반의 수리적 및 역학적 특성의 불확실성을 고려한 확률론적 해석이 필요하다. 그러나 일반적으로 제방 해석에는 결정론적 침투해석을 수행한 후 전단강도 정수의 변동성만을 고려한 확률론적 사면안정 해석을 수행하는 방식이 사용되고 있다. 본 연구에서는 수위 변화에 따른 제방의 내적침식 및 사면 안정성의 확률론적 거동을 분석하였다. 이를 위해 포화-불포화 유한요소 침투해석과 한계평형법을 연동하여 MCS를 수행하였으며, 지반의 수리적 및 역학적 특성의 불확실성이 유출동수경사 및 사면 안전율의 확률적 분포에 미치는 영향을 평가하였다. 연구 결과를 요약하면 다음과 같다.

(1) 수위별 MCS 결과에 따르면, 수위가 상승할수록 유출동수경사가 증가하며, 이에 따라 확률분포 범위와 형태가 변한다. 수위가 낮을 때는 확률밀도 함수가 점진적으로 감소하는 긴 우측 꼬리를 가진 분포 형태(양의 왜도)를 보인다. 반면, 수위가 높아지면 왼쪽으로 긴 꼬리를 가지며 음의 왜도를 나타내는 반대 경향이 관찰되었다.

(2) 수위별 MCS 결과, 제내지 사면 안전율의 확률분포 형태는 수위에 관계없이 유사한 형태를 유지하였다. 그러나 수위가 상승함에 따라 제체 내 간극수압이 증가하면서 제내지 사면 안전율이 감소하였고, 이에 따라 분포 범위가 변하는 경향을 보였다.

(3) 제방의 유출동수경사는 제체의 투수계수와 양의 상관관계를 나타내었다. 반면, 기초층의 투수계수와는 음의 상관관계를 보였다. 불포화 특성을 나타내는 변수(θs, α, n)는 유출동수경사와 양의 상관관계를 보였으나, 그 값이 작아 상관관계는 미약한 수준으로 평가되었다.

(4) 불포화 특성을 나타내는 변수(θs, α, n)는 제내지 사면 안전율과의 상관계수가 매우 작아, 안전율에 유의미한 영향을 미치지 않는 것으로 나타났다. 반면, 제체 및 퇴적 기초층의 투수계수(ks1, ks2)와 사면 안전율 사이의 상관계수는 수위가 높아질수록 증가하는 경향을 보였다. 이때, 사면 안전율은 제체의 투수계수(ks1)와 음의 상관관계, 기초층의 투수계수(ks2)와 양의 상관관계를 나타냈다. 즉, ks1가 증가하면 안전율이 감소하고, ks2가 증가하면 사면 안전율이 증가하는 경향을 보였다. 이로부터, 제방의 침투거동을 고려한 사면안정 해석을 확률론적으로 수행할 경우, 제체 및 기초 지반의 투수계수 변동성을 반드시 고려해야 하며, 이러한 필요성은 수위가 상승할수록 더욱 뚜렷해짐을 확인하였다.